Fiche 26 • Variables aléatoires continues
2. MOMENTS D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE
Dans cout ce paragraphe, (Q, r, Il') désigne un espa. ce probabilisé ec X une variable aléatoire continue définie sur Q et de densité de probabilité fx.
a) Espérance mathématique
Nous disons que la variable aléatoire X admet une espérance mathématique si l'intégrale
f_:' T fx(r) dr converge absolument. Nous appelons alors espérance mathématique de X , la valeur notée IB(X) et définie par:
IB(X) = 1:., Tfx(l)dr.
.l 1 (Q, r, Il') désigne désormais lensemble des variables aléatoires discrètes ou conci nues défi nies
sur Q et admettant une espérance. C'est un IR-espace vectoriel.
Si deux variables aléatoires réelles X et Y admettent une espérance alors, pour cout (a, b) E JR 2 ,
IB (aX + bY) = a lB(X) + blB(Y).
b) Espérance d'une fonction d'une variable aléatoire
Théorème du transfert : Soit /un intervalle d 'excrémicésa et b, (- oo .; a < b .; +oo), contenant
X(Q). Soit g une fonction à valeurs dans IR définie et continue sur / sauf en un nombre fini de
valeurs. g(X) admet une espérance mathématique IB(g(X)) si et seulement si .Î. g(r)fx(r)dr est
absolument convergence et nous avons :
IB(g(X)) = [ g(r)fx(r) dr.
Remarque
Pour calculer E (g(X)], il suffit de changer t en g(t).
c) Moment simple et moment centré d'ordre r
Soie r E N'. Sous réserve d'existence, nous appelons moment simple d'ordre r de la variable
a léatoire X la valeur
µ , (X) = IB(X') = J : r' fx(r) dr.
Remarques
1. Le moment. d'ordre 1 de la variable aléatoire X, n oté plus simplementµ ou encore µx s'il y .a plusieurs
variables aléatoires à distinguer, est l'espérance mathématique de X.
2. Si une variable aléatoire possède un moment simple d'ordre r, elle possède un moment simple pour
tout ordre s e [ 1;rD.
Soie r E N'. Sous réserve d'existence, nous appelons moment centré d'ordre r de X la valeur
m , (X) = IB ((X - µ)').
Remarques
1. Pour r = 1, nous avons m 1 (X) = E(X - µ) = O.
Pour r = 2, m2(X) est appelé la variance de X, voir ci-dessous.
Les caractéristiques de forme des distributions sont associées aux moments centrés d'ordr·es r = 3 et
r = 4.
2. Si une variable aléatoire possède un moment centré d'ordre r, elle possède un moment centré pour
tout ordre s e [ 1;rD.
3. Si la variable aléatoire X ne possède pas d'espérance mathématique, alors la variable X ne peut
admettre de moment centré.
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2. MOMENTS D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE
Dans cout ce paragraphe, (Q, r, Il') désigne un espa. ce probabilisé ec X une variable aléatoire continue définie sur Q et de densité de probabilité fx.
a) Espérance mathématique
Nous disons que la variable aléatoire X admet une espérance mathématique si l'intégrale
f_:' T fx(r) dr converge absolument. Nous appelons alors espérance mathématique de X , la valeur notée IB(X) et définie par:
IB(X) = 1:., Tfx(l)dr.
.l 1 (Q, r, Il') désigne désormais lensemble des variables aléatoires discrètes ou conci nues défi nies
sur Q et admettant une espérance. C'est un IR-espace vectoriel.
Si deux variables aléatoires réelles X et Y admettent une espérance alors, pour cout (a, b) E JR 2 ,
IB (aX + bY) = a lB(X) + blB(Y).
b) Espérance d'une fonction d'une variable aléatoire
Théorème du transfert : Soit /un intervalle d 'excrémicésa et b, (- oo .; a < b .; +oo), contenant
X(Q). Soit g une fonction à valeurs dans IR définie et continue sur / sauf en un nombre fini de
valeurs. g(X) admet une espérance mathématique IB(g(X)) si et seulement si .Î. g(r)fx(r)dr est
absolument convergence et nous avons :
IB(g(X)) = [ g(r)fx(r) dr.
Remarque
Pour calculer E (g(X)], il suffit de changer t en g(t).
c) Moment simple et moment centré d'ordre r
Soie r E N'. Sous réserve d'existence, nous appelons moment simple d'ordre r de la variable
a léatoire X la valeur
µ , (X) = IB(X') = J : r' fx(r) dr.
Remarques
1. Le moment. d'ordre 1 de la variable aléatoire X, n oté plus simplementµ ou encore µx s'il y .a plusieurs
variables aléatoires à distinguer, est l'espérance mathématique de X.
2. Si une variable aléatoire possède un moment simple d'ordre r, elle possède un moment simple pour
tout ordre s e [ 1;rD.
Soie r E N'. Sous réserve d'existence, nous appelons moment centré d'ordre r de X la valeur
m , (X) = IB ((X - µ)').
Remarques
1. Pour r = 1, nous avons m 1 (X) = E(X - µ) = O.
Pour r = 2, m2(X) est appelé la variance de X, voir ci-dessous.
Les caractéristiques de forme des distributions sont associées aux moments centrés d'ordr·es r = 3 et
r = 4.
2. Si une variable aléatoire possède un moment centré d'ordre r, elle possède un moment centré pour
tout ordre s e [ 1;rD.
3. Si la variable aléatoire X ne possède pas d'espérance mathématique, alors la variable X ne peut
admettre de moment centré.
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