26 Variables aléatoires continues
Mots clés _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~
Variable aléatoire continue, fonction d'une variable aléatoire continue., espérance. moments simples
et centrés, variance, écart-type. fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire continue,
indépendance de variables alétoires, somme et covariance de deux variables aléatoires.
1. DÉFINITION
a) Variable a léatoire continue
Soit X une variable aléatoire réelle (v.a.r.) définie sm un espace probabilisé (Q, r, Il'). Nous disons
que la variable a léatoire X est continue s'il existe une fonction fx définie sur lR telle que:
1. fx(r) ;;. 0 pour tout r E IR :
2. l'ensemble des points de discontinuité de fx est fini et ces discontinuités sont de première
espèce (i.e. la limite à gauche et à droite en chaque point existe):
3. pour to ut x réel la fonction de répartition F x de la variable X est donnée par :
Fx(x) = J : fx(r)dr.
La fonction fx est appelée densité de la loi de probabilité de la variable X ou encore une
densité de probabilité de X.
Remarque
Il faut en particulier que l'intégrale L : fx(t) dt soit convergente et que
J : fx(t)dt = 1.
Propriétés : Soit X une v.a.r. admettant une densitté de probabilité fx .
1. Pour tout a E IR, ll'((X = a)) = 0 :
2. Pour tout (a,b) E JR 2 avec a,;; b, ll'((a
3. Pour tout (a,b) E IR 2 , ll'((X < b)) = ll'((X.;; b)) = .Î-..fx(r)dr, ll'((a
[," .. fx(r)dr.
b) Fonction d'une variable a léatoire continue
Soit X une v.a.r. admettant une densité de probabilité fx et/ un intervalle d'extrémittés a et b,
(-oo ,;; a < b ,;; +oo), contenant X(Q). Soit de classe C' sur/, telle que pour tolll x de/,
'(x) > 0 ou '(x) (X) est une variable aléatoire continue:
2. Une densité de probabilité 9,;(X) de(X) est donnée par:
fxW '(x)) .
9,;(X)(X) =
1
.
1
SI X E (/),
'W 'Ml
90(X)(X) = 0 si X <; (/).
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Mots clés _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~
Variable aléatoire continue, fonction d'une variable aléatoire continue., espérance. moments simples
et centrés, variance, écart-type. fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire continue,
indépendance de variables alétoires, somme et covariance de deux variables aléatoires.
1. DÉFINITION
a) Variable a léatoire continue
Soit X une variable aléatoire réelle (v.a.r.) définie sm un espace probabilisé (Q, r, Il'). Nous disons
que la variable a léatoire X est continue s'il existe une fonction fx définie sur lR telle que:
1. fx(r) ;;. 0 pour tout r E IR :
2. l'ensemble des points de discontinuité de fx est fini et ces discontinuités sont de première
espèce (i.e. la limite à gauche et à droite en chaque point existe):
3. pour to ut x réel la fonction de répartition F x de la variable X est donnée par :
Fx(x) = J : fx(r)dr.
La fonction fx est appelée densité de la loi de probabilité de la variable X ou encore une
densité de probabilité de X.
Remarque
Il faut en particulier que l'intégrale L : fx(t) dt soit convergente et que
J : fx(t)dt = 1.
Propriétés : Soit X une v.a.r. admettant une densitté de probabilité fx .
1. Pour tout a E IR, ll'((X = a)) = 0 :
2. Pour tout (a,b) E JR 2 avec a,;; b, ll'((a
3. Pour tout (a,b) E IR 2 , ll'((X < b)) = ll'((X.;; b)) = .Î-..fx(r)dr, ll'((a
b) Fonction d'une variable a léatoire continue
Soit X une v.a.r. admettant une densité de probabilité fx et/ un intervalle d'extrémittés a et b,
(-oo ,;; a < b ,;; +oo), contenant X(Q). Soit de classe C' sur/, telle que pour tolll x de/,
2. Une densité de probabilité 9,;(X) de
fxW '(x)) .
9,;(X)(X) =
1
.
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SI X E (/),
'W 'Ml
90(X)(X) = 0 si X <; (/).
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