Fiche 25 • Lois discrètes usuelles 2
3. LOI BINOMIALE NÉGATIVE DE PARAMÈTRES r ET p
a ) Dé finiti o n
Soit r un entier naturel et I' E (O; 1 ). Une variable aléatoire X est dite suivre la loi b inomiale
n égative de paramètres r et p, notée BinNeg(r: fJ), si la variable aléatoire X prend la valeur
k E N avec la probabilité égale à (k r -
1
\.,• let toute autre valeur avec une probabilité nulle.
· +r - If
Nous notons q le nombre 1 - f'·
b) Rema rques
1. Les Figures 25.3 et 25.4 montrent les graphes des lois de probabilité de six lois binomiales
négatives.
2. La loi binomiale négative est la loi de probabilité de la variable aléatoire X q ui comptabilise
le nombre d'échecs nécessaires avant l'obtention de /1 succès, sachant q ue la probabilité
d' un succès est I'·
3. La loi binomiale négative est également appelée loi d e Pascal.
4. La loi binomiale négative prend les valeurs entières comprises entre 0 et +oo.
S. La loi géométrique de paramètre ( 1 - fJ) est égale à la loi binomiale négative de paramètres
1 et,,, !BinNeg(I; fJ).
g .--~~~~~~~~~~~--,
0
8
0
p =0,5
• r = 2
• r = 5
• r = 10
.....
.
.
• •
•
•
. . ... .
........ : .. : ... :: ...
10
15
20
Figure 25.3 - lois de probabilité
c) Propriétés
g .--~~~ . ~~~~~~~~--,
0
• •
t•
. . . .
r=5
• p =0,25
• p =0,5
• p=0,75
...
• : 1 ••• •• 1
. . .
8 • •••• ••••• ••••• ::1 ••
0 0
10
15
20
Figure 25.4- lois de probabilité.
Proposition : Si X 1 , ••• , X,.. sont m variables aléatoires mutuellement indépendantes et si, pour
tout entier k E [ 1; mD, Xk suit la loi BinNeg(rx, ; f') {respectivementBinNeg( I; fJ)) alors la variable
aléatoire L: Xk suit la loi BinNeg ( L: rx, ; I' ) (respectivement BinNeg(m; fJ)).
14":(1•1
' "keit1
Proposition: Si X suit la loi BinNeg(rx: p) et Y la loi BinNeg(ry: p), et si X et Y sontt indépendantes alors X+ Y suit la loi BinNeg(rx + ry; fJ).
L'espérance et la variance d' une variable aléatoire X suivant une loi binomiale négative de paramètres /1 et I' sont égales respectivement à :
IB(X) = ,.!!.
q
et Var(X) = ,..!!... q2
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