Fiche 25 • Lois discrètes usuelles 2
2. LOI DE POISSON DE PARAMÈTRE A
a) Définition
Soit 11 > O. Une variable aléatoire X est dite suivre la loi de Poisson de paramètre A, notée 1"(11),
si la variable aléatoire X prend la valeur k E N avec la probabilité égale à exp(-11) t et toute autre
valeur avec une probabilité nulle.
b) Remarques
1. La Figu re 25.2 montre le graphe des lois de probabilité de trois lois de Poisson.
2. La loi de Poisson est utilisée pour décrire plusieurs types de phénomènes comme le nombre
d'appels reçus par un standard téléphonique pendant une période donnée, etc.
3. La loi de Poisson est encore utilisée lorsq ue nous étudions le nombre d'appa.ritions de
certains phénomènes rares.
4. Cette loi est aussi utilisée dans les approximations à la Fiche 32. En particulier, la loi binomiale sera approchée par la loi de Poisson.
c) Propriétés
0
«! •
0
"' 0
" 0 •
"' 0
• ), = 0,2
• ), = ~ 1
.. ):..:....:.J
........
figure 25.2 - lois de probabilité.
L'espérance et la variance d' une variable aléatoire X suivant une loi de Poisson de paramètre Â
sont égales respectivement à :
IB(X) = A et V ar(X) = A.
Proposition: Si X suit la loi P(Ax) et Y la loi 1"(1ly), et si X et Y sont indépendantes alors X+ Y
suit la loi 1"(1lx + Ây ).
Plus généralement, si X 1 , ••• , X,, sont /1 variables aléatoires mutuellement indépenda.ntes et si,
pour tout entier k E [ l;11D, Xk suit la loi P(Ax, ) alors la variable aléatoire L: Xk suit la loi
' "k~t
?"'( L: Ax, ) .
14":(1'
Remarques
1. Notons que l'espéran ce d'une variable qui su it une loi de Poisson est égale à sa varian ce.
2. Cette loi a u ne h omologu e dan s les lois absolument continues : la loi exponentielle, voi r Fi che 29.
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