2 5 Lois discrètes usuelles 2
~~ Lois discrètes infinies
Mots clés
Loi géométrique, loi de Poisson. loi binomi ale n égative.
1. LOI GÉOMÉTRIQUE DE PARAMÈTRE p
a) Définition
Soit I' E)O; 1 (.Une variable aléatoire X est dite suivre la loi géométrique de paramètN! p, notée
(j(p), si la variable aléatoire X prend la valeur k ;;., 1 avec la probabilité égale à ( 1 - fJ)k-' I' et
toute autre valeur avec une probabilité nulle.
b) Remarques
1. La Figu re 25.1 montre le graphe des lois de probabilité de crois lois géométriq ues.
2. Cette loi est un cas particulier de la loi d e Pa scal.
3. Cette loi sert généralement lorsq ue nous nous intéressons au temps d'attente du premier
succès, c'est-à-dire au nombre d'essais nécessaires pour obtenir un succès, lors d' une succession d'expériences aléatoires indépendantes n'ayant que deux issues possibles : le succès
avec une probabilité I' et l'échec avec une probabilité 1 - I'·
4. La loi géométrique est parfois utilisée pour modéliser des durées de vie. Par exemple, la loi
géométtriqueest le modèle discret de la mort d' une particule radioactive. La loi géométrique
est la version discrète d' une loi absolument continue : la loi exponentielle, voir Fiche 29 .
c) Propriétés
.,
0
"' 0
" 0
"' 0
0
0
• p = 0,1
• p = 0,5
• p = 0,9
• .
. • . . . . . 1
. • .1 • • • •
0
2
6
8
Figure 25.1 - lois de probabilité.
l
10
L'espérance et la variance d' une variable aléatoire X suivant une loi géométriq ue de pa.ramècre I'
non nul sont égales respectivement à :
IB(X) = .!.
,,
et Var(X) = 1 _ ,,_
,,2
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