Fiche 24 • Lois discrètes usuelles l
3. La loi hypergéométrique prend les valeurs entières comprises entre max(O; /1 - N + NfJ) et
min(N p,11).
4. L'espérance de la loi hypergéométrique 1f(N; 11; fJ) est égale à l'espérance de la loi binomiale B(11; fJ).
S. La variance de la loi hypergéométrique1f(N; 11; fJ) est égale à la variance de la loi binomiale
93(11; fJ) au facteur multiplicatif z-:::: près. Dans un contexte statistique, ce facteur s'appelle
le facteur d 'exha us tivité. Il est toujours inférieur ou égal à 1.
"'
n=10elp=0,5
ci
• N=U
"
• N= 20
ci
• N=50
• 8 (10;0,5)
M
ci
•
"'
t t
ci
ci
..
..
1
1
0
• • •
• • •
0
0
2
6
8
10
" ci
M
ci
"' ci
ci
~ 1. l • •
0
•
••
N=20e1p=0,5
• n =5
• n = 10
• n = 15
. • • • • • •
10
15
Figure 24.3 - lois de probabilité.
Figure 24.4- lois de probabilité.
4. LOI UNIFORME DISCRÈTE
a) Définition
Soit /1 E N'. Une variable aléatoire X est dite suivre une loi uniforme discrète si la variable
aléatoire X prend /1 valeurs possibles k1 ,k2, ... ,k. avec la probabilité égale à l/11 pour n'importe
q uelle valeur k;. En particulier une variable aléatoire X est dite suivre la loi uniforme discrète
sur (a; bD, oè1 a,b E Z et a.;; b, si la variable aléatoire X prend comme valeurs possibles ja,a +
1,. .. ,bf avec la probabilité égale à l/(b -a+ 1) pou m'importe laquelle de ces valeurs.
b) Propriétés
L'espérance et la variance d' une variable aléatoire X suivant la loi uniforme discrète s ur [a; bD
sont égales respectivement à :
c) Remarque
IB(X) =a+ b
2
V ar(X)= (b-a)(b-a+2)_
et
12
La loi uniforme discrète sur ( 1; 11D peut s'appliquer à toute situation aléatoire à /1 issues équiprobables dès q ue celles-ci peuvent être a~sociées aux nombres I, 2,. .. , 11. L'espérance et la variance
d' une variable aléatoire X suivant la loi uniforme discrète sur ( 1 ;11 J sont égales respectivement à :
IB(X) = ~
2
66