Fiche 24 • Lois discrètes usuelles l
L'espérance et la variance d' une variable aléatoire X suivant la loi binomiale de paramètres /1 ec ''
sont égales respectivement à :
IB(X) = "I' ec Var( X) = 11p( 1 - f') = 111Jq.
c) Remarques
1. Les Figures 24.1 ec 24.2 montrent les graphes des lois de probabilité de six lois binomiales.
2. Pour /1 = I, ce n'est rien d'autre que la loi de Bernoulli 93( 1; fJ).
3. La loi binomiale modélise coutes les si cuacions qui s'apparentent à un tir age avec remis e.
4. La loi binomiale sera utilisée dans les approximations à la Fiche 32.
~
~~~~~~~~~~~~~~~
ci
M
ci
"' ci
ci
. . .. .
..
...
..
p =0,5
• n = 5
• n = 10
• n =20
.. . . .. .. ..
~
ci
n =20
M
• p =0,1
ci
• p=0,5 1
.. p =0,9
"' ci
.
. .
ci
. .
....
..
. ..
. ........ 0 • •••• i • ••••••• • : • ••••
0
• 1 ..........
..
0
0 ~~~~~~~~~~~~~~.....-'
10
15
Figure 24.1 - lois de probabilité.
20
0
10
15
Figure 24.2 - lois d e probabilité.
3. LOI HYPERGÉOMÉTRIQUE DE PARAMÈTRES N, n ET p
a) Loi hypergéométrique
20
Soie Nec /1 deux entiers naturels tels q ue 11 .; Net'' E (O; 1) cel que Nf' soie entier. Une variable
aléatoire X est dite suivre une loi hypergéométrique de paramètres N, 11, p, notée 1{(N;11; fJ),
(Np)("-Np)
si la variable aléatoire X prend la valeur k E [ 0 ;11 B avec la probabilité égale à k r.)-k ec cou ce
autre valeur avec une probabilité nulle. Nous notons q le nombre 1 - I'·
b) Propriétés
L'espérance ec la variance d' une variable aléatoire X suivant une loi hypergéométrique de paramètres N, 11, l' sont égales respeccivemencà:
N - 11
N - 11
IB(X) =111' ec Var(X) =11p( I - fJ) N _ I = "f'q N _ I ·
c) Remarques
1. Les Figures 24.3 ec 24.4 montrent les graphes des lois de probabilité de six lois ilypergéomécriq ues.
2. La loi hypergéométrique modélise coutes les si cuacions q ui s'apparentent à un tirage sans
ren1ise.
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