24 Lois discrètes usuelles 1
Lois discrètes finies
Mots clés ------------------------------~
Loi de Bernoulli, loi uni forme discrète., loi binomiale, loi hypergéométri qu e.
1. LOI DE BERNOULLI DE PARAMÈTRE p
a) Définition
Soit I' E (O; 1). Une variable aléatoire X est dite suivre la loi de Bernonlli de p ar a mètre p,
notée 93( 1; fJ), si la variable aléatoire X prend la valeur 1 avec la probabilité''' la valeur 0 avec la
probabilité 1 - p = q et toute autre valeur avec une probabilité nulle.
b) Propriétés
L'espérance et la variance d' une variable aléatoire X suivant la loi de Bernoulli de pa.ramètre I'
sont égales respectivement à :
IB(X) = f' et Var( X)= p( 1 - f') = fJQ où q = 1 - f'·
c) Remarques
1. Le terme de variable aléatoire de Bernoulli est synonyme de celui de variable aléatoire
indicatrice q ui indique la réalisation éventuelle d' un événement de probabilité I'·
2. Une variable de Bernoulli est définie par les deux valeurs 0 et 1 et celles-là seulement.
Toute autre paire de valeurs ne permet plus lappellation de variable de Bernoulli.
2. LOI BINOMIALE DE PARAMÈTRES n ET p
a) Définition
Soit /1 un entier naturel et I' E (O; 1 ). Une variable aléatoire X est dite suivre la loi bino miale de
p ar am ètres 11 et p, notée 93(11; fJ), si la variable aléatoire X prend la valeur k E [O;n) avec la
probabilité égale à (~)le 1 - f')"-k et toute autre valeur avec une probabilité nulle. Nous notons q
le nombre 1 - f'.
b) Propriétés
Proposition : Si X 1 , ••• , X,.. sont m variables aléatoires mutuellement indépendantes et si, pour
tout entier k E [ 1; m ), Xk suit la loi 93(11x,; f') (respectivement 93( 1; f')) alors la variable aléatoire
L: Xk suit la loi 93 ( L: 11x, ; I' ) (respectivement '.B(m; fJ)). li en va de même pour les variables
14-"m
14-"m
de Bernoulli.
Proposition: Si X suit la loi 93(11x: fJ) et Y la loi 93(11y; fJ), et si X et Y sont indépendantes alors
X+ Y suit la loi 93(11x +11y; fJ).
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