Fiche 23 • Couples de variables aléatoires discrètes- Indépendance
Pr op ri étés :
1. X ec Y sont indépendances si ec seulement si pour cout couple (x;, !Ji ) de (X, Y)(Q),
l'(X.Y)(X;,!Jj) = 1'1.•l'•.j·
2. Si X ec Y sont indépendances alors la loi de X sach ant Y est égale à la loi de X ec la loi de
Y sacha nt X est égale à la loi de Y.
3. Si X ec Y sont indépendances ec f ec g sont deux fonctions à valeurs réelles définies respectivement sur X(Q) ec sur Y(Q), alors f(X) ec g(Y) sont deux variables aléatoires discrètes
indépendances.
b) Indépendance mutuelle d'une famille de variables aléatoires discrètes
Soie (Xklk 1. Si l'ensemble K est fini, les v.a.d. (Xklk"11< sont dites mntnellement indépendantes,
lorsq ue pour coutes les valeurs possibles des variables Xk. c'est-à-dire pour cout (xk)k n k 2. La famille (Xklk indépe:ndantes si, pour cout ensemble fini L c K, les v.a. (X 1 ) 1 ..,_, sont mutuellement indépendances.
Théorème : Si les variables aléatoires discrètes X 1 , ••• , X,, sont mutuellement indépendances, alors pour coutes les fonctions ec l/J définies respectivement sur (X 1 , ••• , Xp)(Q) ec
(Xp+i. ... , X,,)(Q), les variables aléatoires discrètes (X,, .. . , Xp) ec l/J(Xp+i. ... ,X,,) sont indépendances.
c) Indépendance deux à deux d'une famille de variables aléatoires discrètes
Les variables aléatoires di~crètes (Xklk (i, j) E K, X; ec Xj sont indépendances.
Remarque
L' indépen dance mutuell e impli qu e l'indépen dance de ux à deu x. La réciproqu e n'est pas vraie.
3. SOMME ET COVARIANCE DE DEUX VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES
a) Loi d'une fonction d'un couple (X, Y)
Soie (X, Y) un couple de variables aléatoires discrètes ec g une fonction de (X, Y)(Q) dans IR. La
relation suiva.nce permet de calculer la loi de g(X, Y) :
l!'(g(X, Y) = z) =
(X;l/;)«_X. }')(!.!)
tels que g(r 1 11;) =i
ll'((X = x;) n (Y = !Jill·
Nous en dédu isons en particulier la loi de la somme de X et d e Y :
ll'(X +Y= z) =
(>>.y;l<(X.YXO.
tels qtr X;+yj=~
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ll'((X = x;] n (Y = !Jill·