Fiche 23 • Couples de variables aléatoires discrètes - Indépendance
Cas où X et Y sont des variables a léatoires discrètes finies
T héorème : Si la série double L (x;,y;)E(X, Y)(O) g(X1.!1j)IP((X
convergence, alors g(X, Y) ad mec une espérance ec
xi] n ( Y
IB(g(X, Y))=
L: g(x 1 , !li)IP((X = x;] n (Y= !lill ·
(x111;)E(X. l')(!])
Pr op ri étés :
!lill est absolument
1. Si deux variables aléatoires discrètes X ec Y one une variance alors XY admet une espérance
ec IB(XY) = L (x,y;l<(X. Y)(.!1J X;!fjlP((X = xi) n ( Y= !lill = IB(YX).
2. Si deux variables aléatoires discrètes X ec Y one une espérance ec sont indépenda nces alors
XY admet une espérance ec IB(XY) = IB(X)IB(Y).
b) Covariance de variables aléatoires discrètes
Soit X ec Y deux variables aléatoires discrètes ayant une variance. La covariance de X et de Y
est le nombre réel défini par:
C ov(X, Y)= IB ((X -IB(X))(Y - IB(Y))).
Proposition: Soie X ec Y deux variables aléatoires discrètes ayant une variance. Nous avons les
deux égalités suivantes :
C ov(X, X)= Var(X) ec Cov(X, Y)= C ov(Y,X).
Définition : Deux v.a.d. X ec Y ayant une variance ne sont pas corrélées si C ov(X, Y) = O.
Propri étés : Soie X ec Y deux variables aléatoires discrètes ayant une variance.
1. Formule de Huygens: C ov(X, Y)= IB(XY) - IB(X)IB(Y).
Si X ec Y sonc indépendances, elles ne sonc pas corrélées. La réciproque n'est pas vraie.
2. X+ Y admet une variance ec
Var(X + Y) = Var(X) + 2Cov(X, Y)+ Var( Y).
3. De plus, si X ec Y sont indépendantes,
Var(X + Y)= V anX) + Var( Y).
4. Génér a lisation : Si (Xkl< Propri étés : Soit X, Y ec Z crois variables aléacoi.res discrètes ayant une variance ec a, b, c ec d
q uatre nombres réels.
1. Cov(aX + bY,Z) = a C ov(X,Z) + bCov(Y,Z).
2. Cov(aX + b, c Y+ d) = ac Cov(X, Y).
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