23 Couples de variables aléatoires
discrètes - Indépendance
Mots clés
Loi d'un couple .. lois marginales, lois conditionnelles, ind épendance de variables aléatoires discrètes,
somme et covaria nce de variables aléatoires d iscrètes.
1. LOIS ASSOCI ÉES À UN CO UPLE DE VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈT ES
a) Loi d'un couple (X, Y)
Nous appelons loi d ' un couple (X, Y) ou encore loi conjointe de X et Y la famille
(P(x.n(Xi, !/j))(x;ll;'JE(X.Yl(!}) où l' Remarques
1. X et Y sont des variables aléatoires discrètes donc il existe I et J deux part ies de N telles q ue X(Q) =
(x, i e IJ et Y(Q) = IYfai e 1).
2. Ptx.Y.l (xi.yj) est la probabili té qu e simultanément X p renne la valeur X; et Y la valeur Yi3. Lorsque X(!!) et Y(!1) sont deux ensem bl es de car di nal petit, al ors l es pr obabilités1> être représentées dans un tableau à double entrée.
Théorème : (P(x.n(Xi, !/j))(x,!f;'J<(X.Y X!lJ est la loi d' un couple de v.a.d. (X, Y) si ec seulement si
1. l' 2. Li b) Lois margin ales
Les variables aléatoires X ec Y sont appelées var iab les marginales du couple (X, Y). La loi de la
variable aléatoire X, respectivement la loi de la variable aléatoire Y du couple (X, Y) est appelée
loi marginale de X, respectivement loi marginale de Y.
Nota tions: IF'(X =xi) =l'i.• ec ll'(Y = !/j ) = l'•.j ·
Pr op ri étés :
1. Pour toue i E /,l'i.• = L j 2. Pour toue j E J, l'•.j = Li<1 l' c) Lois conditionnelles
Soit X une variablealéacoire discrète sur (Q, '.r, ll')ec A Er. Nous appelons loi de X conditionnée
p ar A, ou loi de X sacha nt A, la suite numériqLte (JP, (X = Xillx; conditionnée p ar Y, ou sacha nt Y, la famille (lP1Y=!!;J(X = Xi)l(x; 11 ;)e(X.Yl(!1l·
2. INDÊPENDANCE DE VAIUABLES ALÊAîôlltES DISCltÊîES
a) Indépendance de deux variables aléatoires discrètes X et Y
Deux variab:les a léatoires discrètes X et Y sont dites indépendantes lorsque pour cout (i,j) E
lxl
ll'((X = x;) n (Y= !fj)) = lP((X = xi))ll'((Y = !fj)).
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