Fiche 22 • Moments et fonctions génératrices
g) Moments d'ordres 3 et 4
Nous mentionnons les moments d'ordres 3 et 4 car ils sont utilisés en statistique.
1. Le momenccencré d'ordre 3, lorsqu 'il existe, de la v.a.d. X donc a-> 0 fo urnit le coefficient
d ' asym étrie :
qui est nul en cas de symétrie.
2. Le momenccencré d'ordre 4, lorsqu 'il existe, de la v.a.d. X donc a-> 0 fo urnit le coefficient
d 'aplatissement :
B(cx - µl
4
)
4
- 3.
O'
2. FONCTIONS GÉNÉRATRICES DE LA VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE X
a) Fonction génératrice des moments
Considérons la fonction
gx(r) = IB (exp(rX))
de la variable réelle r définie pour l'ensemble des valeurs der pour lesq uelles IB (exp(rX)) < +oo.
gx(r) est la fonction génératrice d es moments d e la variable aléatoire discrète X lorsq u'elle
est définie dans un voisinage de l'origine.
Propri été: Le moment d'ordre r de X est donné par:
µ, = g~)(O) où g~\0) est la dérivée d'ordre r de gx.
b) Fonction génératrice
Nous appelons fonction génér atrice de la vari able aléatoire discrète X à valeurs dlans N, la
série entière
.. .
Gx(r)=B(r")= _L:fll'(X=k), TE (-1;+1) .
k:::()
Remarque
La fonction gé n ératrice ne dépend que de la loi de la vari able aléatoire X . A insi deu x variables aléatoires
discrètes ayant même loi ont même fon ction génératr ice.
Propri été : La fonction génératrice de la varial>le aléatoire discrète X caractérise la loi de la
variable aléatoire X.
c) Lien entre les deux fonctions
Nous avons la relation suivante : Vr E (-1: + 1 ), gx(r) = G x(exp(r)).
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