Fiche 22 • Moments et fonctions génératrices
d) Moment simple
Soit r E N'. Sous réserve d'existence, nous appelons moment simple d ' ordre r de la variable
aléatoire X la valeur µ, (X) = IB(X' ).
Remarques
1. Le moment. d'ordre 1 de la variable aléatoire X, n oté plu s simplementµ o u encore µx s'il y .a p lusieu rs
vari ables aléatoires à disting uer, est l'espérance mathématique de X.
2. Si une variable aléatoire possède un moment simp le d'ord re r, ell e possède u n moment simp le pour
tout or d re s e [ 1;rD.
3. Si X(Q) est un ensem ble f ini, alors la variable aléatoire X admet des mom ents simples à tous les
ordres r e N"".
e) Moment centré d'ordre r
Soit r E N'. Sous réserve d'existence, nous appelons moment centré d 'onire r de X le réel
µm , (X) = IB ((X - IB (X))') = IB ((X - µ)').
Remarques
1. Pour r = 1, no us avons , m 1 (X) = E(X - µ) = O.
Pour r = 2.. ~ m 2 (X) est appelé la variance de X, voir ci-dessous. Les caractéri stiq ues de forme des
distribution s sont associées au x moments centrés dl' ordres r = 3 et r = 4.
2. Si une vari able aléatoire possède un moment cent ré d'ord re r, elle possède un mom ent centré pour
tout or d re s e [ 1;rD.
3. Si X(Q) est un ensemble f ini, alors la variable aléatoire X adm et des m oments cent rés à tous les o rd res
r e të.
4. Si la variable aléatoire X ne possède pas d'espéra n ce math ématiqu e., alors la variable X n e peut
adm ettre de m oment centré.
f) Variance
Nous disons q ue la variable aléatoire discr ète X admet nne variance lorsque X admet un
moment centré d'ordre 2. Nous appelons alors vari ance de X la valeur
Var()()= B (ex - µl
2 ) = µ 1 112 ()().
Nous la notons également a2 ou ~ s'il y a plusieu rs variables aléatoires à distinguer.
Écart-type
Nous appelons écart-type de X la valeur -/Var( X), que nous noterons cr ou crx selon les ca~.
Théorème : X admet une variance si et seulement si X 2 admet une espérance mathématique. La
formule de Huygens est alors valable:
Propri été : Pour tous réels a et b et pour toute variable aléatoire discrète X admettant une variance, nous avons :
V ar(aX + b) = a
2 Var(X).
Vocabulaire
• Si IB(X) = 0, alors X est nne variable aléatoire centrée.
• Si Var()()= I, alors X est nne varia ble aléatoire r éduite.
• Si X admett une variance non nulle, la variable X ' = ~ est appelée variable centrée-r éduite
associ ée à X .
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d) Moment simple
Soit r E N'. Sous réserve d'existence, nous appelons moment simple d ' ordre r de la variable
aléatoire X la valeur µ, (X) = IB(X' ).
Remarques
1. Le moment. d'ordre 1 de la variable aléatoire X, n oté plu s simplementµ o u encore µx s'il y .a p lusieu rs
vari ables aléatoires à disting uer, est l'espérance mathématique de X.
2. Si une variable aléatoire possède un moment simp le d'ord re r, ell e possède u n moment simp le pour
tout or d re s e [ 1;rD.
3. Si X(Q) est un ensem ble f ini, alors la variable aléatoire X admet des mom ents simples à tous les
ordres r e N"".
e) Moment centré d'ordre r
Soit r E N'. Sous réserve d'existence, nous appelons moment centré d 'onire r de X le réel
µm , (X) = IB ((X - IB (X))') = IB ((X - µ)').
Remarques
1. Pour r = 1, no us avons , m 1 (X) = E(X - µ) = O.
Pour r = 2.. ~ m 2 (X) est appelé la variance de X, voir ci-dessous. Les caractéri stiq ues de forme des
distribution s sont associées au x moments centrés dl' ordres r = 3 et r = 4.
2. Si une vari able aléatoire possède un moment cent ré d'ord re r, elle possède un mom ent centré pour
tout or d re s e [ 1;rD.
3. Si X(Q) est un ensemble f ini, alors la variable aléatoire X adm et des m oments cent rés à tous les o rd res
r e të.
4. Si la variable aléatoire X ne possède pas d'espéra n ce math ématiqu e., alors la variable X n e peut
adm ettre de m oment centré.
f) Variance
Nous disons q ue la variable aléatoire discr ète X admet nne variance lorsque X admet un
moment centré d'ordre 2. Nous appelons alors vari ance de X la valeur
Var()()= B (ex - µl
2 ) = µ 1 112 ()().
Nous la notons également a2 ou ~ s'il y a plusieu rs variables aléatoires à distinguer.
Écart-type
Nous appelons écart-type de X la valeur -/Var( X), que nous noterons cr ou crx selon les ca~.
Théorème : X admet une variance si et seulement si X 2 admet une espérance mathématique. La
formule de Huygens est alors valable:
Propri été : Pour tous réels a et b et pour toute variable aléatoire discrète X admettant une variance, nous avons :
V ar(aX + b) = a
2 Var(X).
Vocabulaire
• Si IB(X) = 0, alors X est nne variable aléatoire centrée.
• Si Var()()= I, alors X est nne varia ble aléatoire r éduite.
• Si X admett une variance non nulle, la variable X ' = ~ est appelée variable centrée-r éduite
associ ée à X .
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