22 Moments et fonctions
génératrices
Mots clés
Espéran ce, t héor èm e du t ransfert, m om ents simples etc-ent rés, vari ance, écart-type., fonction gén ératrice
d'une vari able aléatoire d iscrète.
Ici, (Q, '.7'", IP) désigne un espace probabilisé et X une variable aléatoire discrète (v.a.d.) définie sur
Q. X(Q) =l x;, 1 .; i .; K)f avec K une partie de N ou de Z. Nous posons IP(X = x;) = px(x;).
1. MOMENTS D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE
a ) Définition de l'es péra nce m athématique
Nous disons q ue la variable a léatoire X admet une espéran ce m athém atique lorsq ue lest
fini ou lorsq ue la série I,; X;fJx(x;) est absolument convergence. Nous appelons alors espérance
m athém atiq u e de X , la moyenne pondérée notée IB(X) et définie par:
IB(X) = L: x;fJx(x;) .
.l 1 (Q, r, IP) désigne l'ensemble des variables aléatoires discrètes définies sur Q et admettant une
espérance. C'est un IR-espace vectoriel.
Rema rque
Si X e .C 1 (!?. 'F. P), c'est-à-di re si la série D X;Px(x;) n'est pas absolu ment convergente, no us disons q ue X
n e possède pas d'espéran ce mathématiq ue.
b) Espéra nce d'une fonct ion d'une va ri a ble a léatoire
T héorème du transfert : Soit g une fonction définie sur X(Q) à valeurs dans IR. Lorsq ue g(X)
admet une espérance mathématique, c'est-à-direg(X) E .[, 1 (Q,1'", Il'), nous avons:
.. .
IB(g(X)) = L:g(x;)px(x;).
i=O
Rema rque
Pour calculer E (g(X)), il suffit de chan ger x; en g(x;).
c) Linéa rité d e l'opéra teur BO
L'espérance est une forme linéaire sur .l 1 (Q, r, IP) : pourcous réels a et b et pour coutes variables
aléatoires discrètes X et Y admettant une espérance mathématiq ue, nous avons :
IB(aX + b Y) = alB(X) + blB( Y).
Rema rque s
1. Pour tous r éels a et b et pour toute v.a.d. X admettant une espérance mat hématiqu ~ l a formule
ci-dessus se particul arise en E (aX +b) = a E(X) + b. Car b est con stant et don c E(b) = b .
2. Soit g eth deu x fonctions défin ies sur X(!J) à val eu rs dans R telles q ue g(X).h(X) e .C 1 (!J."F. P). Pour
tous nombres réel s a et b, n ous avon s:
E(ag(X) + bh(X)) = a E(g(X)) + bE(h(X)).
Il faut noter q ue E(g(X)) n'est généralement pas égal à g(E(X)). En particulier n ou s avons le plus
souvent E(X2) t (E(X))' .
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génératrices
Mots clés
Espéran ce, t héor èm e du t ransfert, m om ents simples etc-ent rés, vari ance, écart-type., fonction gén ératrice
d'une vari able aléatoire d iscrète.
Ici, (Q, '.7'", IP) désigne un espace probabilisé et X une variable aléatoire discrète (v.a.d.) définie sur
Q. X(Q) =l x;, 1 .; i .; K)f avec K une partie de N ou de Z. Nous posons IP(X = x;) = px(x;).
1. MOMENTS D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE
a ) Définition de l'es péra nce m athématique
Nous disons q ue la variable a léatoire X admet une espéran ce m athém atique lorsq ue lest
fini ou lorsq ue la série I,; X;fJx(x;) est absolument convergence. Nous appelons alors espérance
m athém atiq u e de X , la moyenne pondérée notée IB(X) et définie par:
IB(X) = L: x;fJx(x;) .
.l 1 (Q, r, IP) désigne l'ensemble des variables aléatoires discrètes définies sur Q et admettant une
espérance. C'est un IR-espace vectoriel.
Rema rque
Si X e .C 1 (!?. 'F. P), c'est-à-di re si la série D X;Px(x;) n'est pas absolu ment convergente, no us disons q ue X
n e possède pas d'espéran ce mathématiq ue.
b) Espéra nce d'une fonct ion d'une va ri a ble a léatoire
T héorème du transfert : Soit g une fonction définie sur X(Q) à valeurs dans IR. Lorsq ue g(X)
admet une espérance mathématique, c'est-à-direg(X) E .[, 1 (Q,1'", Il'), nous avons:
.. .
IB(g(X)) = L:g(x;)px(x;).
i=O
Rema rque
Pour calculer E (g(X)), il suffit de chan ger x; en g(x;).
c) Linéa rité d e l'opéra teur BO
L'espérance est une forme linéaire sur .l 1 (Q, r, IP) : pourcous réels a et b et pour coutes variables
aléatoires discrètes X et Y admettant une espérance mathématiq ue, nous avons :
IB(aX + b Y) = alB(X) + blB( Y).
Rema rque s
1. Pour tous r éels a et b et pour toute v.a.d. X admettant une espérance mat hématiqu ~ l a formule
ci-dessus se particul arise en E (aX +b) = a E(X) + b. Car b est con stant et don c E(b) = b .
2. Soit g eth deu x fonctions défin ies sur X(!J) à val eu rs dans R telles q ue g(X).h(X) e .C 1 (!J."F. P). Pour
tous nombres réel s a et b, n ous avon s:
E(ag(X) + bh(X)) = a E(g(X)) + bE(h(X)).
Il faut noter q ue E(g(X)) n'est généralement pas égal à g(E(X)). En particulier n ou s avons le plus
souvent E(X2) t (E(X))' .
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