Fiche 21 • Variables aléatoires discrètes
c) Loi de probabilité
S oit X une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé (Q, r, Il'). Nous appelons
loi d e probabilité de la variable aléatoire di scrète X la donnée d'une suite numérique (ll'(X =
x) = JJx(xll.,.x(m telle que :
1. Vx E X(Q), fJx(X) .,, 0;
2. L: JJx(x) = 1 ;
x 3. pour tout réel 1, ll' (X.; 1) = L: JJx(x) où
,,.,
L: désigne la sommation sur lensemble des
,,.,
x E X(Q) inférieurs ou égaux à r.
Remarque
La différence essentielle entre une variable aléatoire discrète infinie et une variable aléatoire discrète
finie réside dans le fait que les sommes que nous devons considérer ne sont pas finies. Il s'agit d'objets
mathématiques appelés séries.
Exemple
Soit a un réel inconnu et X une variable aléatoire réel le à valeurs dans N, telle que :
Vx eN, P(X = x) = _a _ _
2X x x!
Pour détermil'\'er le nombre réel a, il faut, d'après la définition d'une loi de probabilité,
1. vérifier que la probabilité pour chaque valeur de x est positive ou nulle
2. et contrôler que la somme des P(X = x), pour x variant de 0 à l 'infini vaut 1.
Posons:
Px(x) = P(X = x) =_a __
2x x x!
Occupons d'abord du point 1.
Vx e N, Px(x) = -
2
a
1
;;. 0 équivaut à a;;. O.
x X X .
Maintenant t raitons le point 2.
Donc, nous avons :
-
-
1
- (~f
L Px(x) = a L -- = a L - = a exp(1/ 2i
x-0
x- 0 2x x x!
x-0 x!
Ï,Px(x) = 1 équivaut à aexp(l/2) = 1 équivaut à a= ~x-O
Par suite., la variable X à valeurs dans N est une variable aléatoire réelle de loi P(X = x) = -
2
a
si et
,x x x!
seulement si a = _!__ ·
{ë
d) Fonction de répartition
Soit (Q, 'T, ll') un espace probabilisé. Soit X une variable aléatoire discrète infinie sur (Q, r, Il').
Nous appelons fonction de répartition de X l'application:
Fx: IR --> IR
x --> F x(x) = ll'(X .; x).
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