21 Variables aléatoires discrètes
Mots clés
Variable aléatoire discrète finie ou infinie., loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète, fonction
de répart it ion d'une variable aléatoire discrète.
1. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES FINIES
a) Définition
Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé (Q,'.r, ll'). X est dite une
variable aléatoire d iscrète finie (v.a.d.f.) si l'ensemble de ses valeurs X(Q) a un nombre fini
d'éléments.
b) Système complet d'événements
Soit X une variable aléatoire discrète finie avec lX(Q)f = lxk, 1 .; k .; Kf où K = Card(X(Q)).
((X = xk] )w ;c est un système complet d'événements appelé système complet a~socié à la var iable aléato: ire d iscrète X.
c) Loi de probabilité
Soit X une variable aléatoire discrète finie définie sur un espace probabilisé (Q, '.r, ll'). Nous appelons loi de probabili té de la variable aléatoire discrète X la donnée d'une suite numérique
(ll'(X = x) = Px ( x )l.r 1. Vx E X(Q), fJx(x ) ;;. 0, c'est-à-dire fJx(xk ) ;;. 0 pour 1 .; k .; K :
2. L: 1>x(x ) = l,c'est-à-dire L: fJx( xk) = 1 :
x'X(!J)
l '.k" K
3. pour tout réel 1, ll' (X .; r) = L: fJx(x) où
X"I
L: désigne la sommation sur lensemble des
X1'1
x E X(Q) inférieurs ou égaux à r.
Exemple
Soit X une variable aléatoire discrète prenant les valeurs 2, 9/2, 6 et 8, c'est-à- Déterminons la loi de probabilité de X sachant que :
1
1
P(X<6) = 3"' P (X>6) = Ï ' P(X = 2) =P(X = 9/2).
Pour déterminer la loi de X. nous allons procéder de la manière suivante :
X
9/ 2
6 8
Px(x) a
b
d
Nous savons que :
• P(X < 6) = 1/ 3, donc n ous en déduisons que a+ b = 1/ 3.
• P(X > 6) = 1/ 2, donc n ous en déduisons que d = 1/ 2.
• P(X = 2) = P(X = 9/2), donc n ous en déduisons que a = b.
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