Fiche 20 • Variables a/éatoi res réelles
3. FONCTION DE RÉPARTITION
La fonction d e r épartition est un objet mathématique indispensable pour caractériser une variable aléatoire réelle.
a) Définition
Soie X une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé (Q, 'T, IP). Nous appelons
fonction de répartition de la variable aléatoire X l'application F x définie de la façon suivante:
Vx E IR, F x(x) = IP (X.;; x).
b) Propriétés
1. Vx E IR, Fx(x) E (O; 1).
2. F x est une fonction croissante sur IR.
3. lim Fx(x) = 0 et lim F x(x) = 1 et F x est continue à droite et admet une limite à gauche
x~-<»
x~+
en tout point de IR.
4. Pour cous réels a et b, IP (a< X.;; b) = Fx(b) - F x(a).
c) Quelques égalités utiles
1. Pour cout réel a, IP (-oo 2. Pour cout réel a, IP (-oo 3. Pour cout réel a, IP (a 4. Pour cout réel a, IP (a.;; X < +oo) = 1 - F x(a) + IP (X= a).
S. Pour cous réels a et b, IP (a< X.;; b) = Fx(b) - F x(a).
6. Pour cous réels a et b, IP (a.;; X.;; b) = Fx(b) - F x(a) + IP (X= a).
7. Pour cous réelsaec b, IP (a 8. Pour cous réelsaec b, IP (a.;; X< b) = Fx(b)- Fx(a)- IP (X = b) + IP (X =a).
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