20 Variables aléatoires réelles
Motsclés - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Variables aléatoires réelles, variables aléatoires discrètes, variables aléatoires continues, fonction
de répart it ion.
1. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES
a) Définition
Soit (Q, '.r, IP) un espace probabilisé. Nous appelons variable aléatoire réelle (v.a.r.) coute application de Q dans nt ayant la propriété suivante : pour tout intervalle / de IR, lensemble
x- 1 (/) = lw ~ QIX(w) E /I est un événement de 'F.
Remarques
1. La définition laisse une ambiguïté sur les valeurs ±c:o.
2. Si nous remplaçons R par Rd dans la définition ci-dessus, nous parlerons de vecteur aléaroire ou de
variable aléatoire vectorielle.
b) Convention et notations
• Nous notons les variables aléatoires avec des lettres majuscules et les quantités déterministes
avec des lettres min uscules. C'est une convention.
• Nous notons X(Q) l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X définie sur l'espace
probabilisé (Q, '.r, IP).
• X- 1 (jxl) = lw E QIX(w) = x f se note lX = xf_ li correspond à l'ensemble des w tels que les
résultats de l'expérience réalisée sur w, X(w), soit exactement égal à x.
• X- 1 O - oo; a)) = lw E QIX(w) .;; a f se note lX .;; af. Il correspond à lensemble des w tels que
les résultaLs de l'expérience réalisée sur w, X(w), soit inférieur ou égal à x.
• x- 1 Oa; b)) = lw E Qfa < X(w) .;; bf se note la < X .;; bf. li correspond à l'ensemble
ou égal à b.
2. LES DEUX FAMILLES DE VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES
Nous allons étudier par la suite deux familles de variables aléatoires réelles :
1. les variables aléatoires discrètes,
2. les variables aléatoires rontinues.
li existe des d ifférences majeures entre ces deux types de variables comme :
• l'ensemble X(Q) des valeurs prises par ces variables aléatoires;
• le calcul de certaines quantités qui leur sont naturellement associées et que nous définirons par
la suite.
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Variables aléatoires réelles, variables aléatoires discrètes, variables aléatoires continues, fonction
de répart it ion.
1. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES
a) Définition
Soit (Q, '.r, IP) un espace probabilisé. Nous appelons variable aléatoire réelle (v.a.r.) coute application de Q dans nt ayant la propriété suivante : pour tout intervalle / de IR, lensemble
x- 1 (/) = lw ~ QIX(w) E /I est un événement de 'F.
Remarques
1. La définition laisse une ambiguïté sur les valeurs ±c:o.
2. Si nous remplaçons R par Rd dans la définition ci-dessus, nous parlerons de vecteur aléaroire ou de
variable aléatoire vectorielle.
b) Convention et notations
• Nous notons les variables aléatoires avec des lettres majuscules et les quantités déterministes
avec des lettres min uscules. C'est une convention.
• Nous notons X(Q) l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X définie sur l'espace
probabilisé (Q, '.r, IP).
• X- 1 (jxl) = lw E QIX(w) = x f se note lX = xf_ li correspond à l'ensemble des w tels que les
résultats de l'expérience réalisée sur w, X(w), soit exactement égal à x.
• X- 1 O - oo; a)) = lw E QIX(w) .;; a f se note lX .;; af. Il correspond à lensemble des w tels que
les résultaLs de l'expérience réalisée sur w, X(w), soit inférieur ou égal à x.
• x- 1 Oa; b)) = lw E Qfa < X(w) .;; bf se note la < X .;; bf. li correspond à l'ensemble
ou égal à b.
2. LES DEUX FAMILLES DE VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES
Nous allons étudier par la suite deux familles de variables aléatoires réelles :
1. les variables aléatoires discrètes,
2. les variables aléatoires rontinues.
li existe des d ifférences majeures entre ces deux types de variables comme :
• l'ensemble X(Q) des valeurs prises par ces variables aléatoires;
• le calcul de certaines quantités qui leur sont naturellement associées et que nous définirons par
la suite.
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