Fiche 19 • Probabilité conditionnelle et indépendance en probabilité
T héorème: A,, . .. ,A,, sont mutuellement indépendants si et seulement si pour tout partiel c
[ 1: 11) l'égalité suivante est vérifiée
Propri été: Soit /1 événements A 1 , ••• ,A,, mutuellement indépendants. Alors les événements
8 1 , ... , 8,, oÙl pourtout i E l I, ... ,11 f, B; = A; ou B; = Af , sont mutuellement indépendants.
Indépendan ce mntnelle d ' une s uite infinie d 'événements
Soit (A;);m une suite infinie d'événements. Les événements A; sont mntnellement indé: pendants
ponr la probabilité Il' lorsque pour tout /1 E N, Ao, ... ,A,, sont des événements muruellement
indépendants pour la probabilité Il'.
T héorème : (A;);m est une famille d'événements mutuellement indépendants si et seulement si
pour tout parttie finie/ c N l'égalité suivante est vérifiée:
Il' ( OA; ) = 0 IP(A;).
Indépendan ce denx à denx de 11 événements
Soit /1 événements A,, ... ,An d'un espace probabilisé (Q, 'T, Il'). Les événements A,, ... , A,, sont
deux à denx indépendants ponr la probabilité Il' lorsque pour tout (i, j) E [ 1: 11D 2 , les événements A; et A j sont indépendants pour la probabilité Il'.
Rema rque
Trois événements A 8 et C peuvent être deux à deux indépendants sans que A, 8 et C soient mutuellement indépendants.
3. APPLICATION: MONTY HALL, INSPIRÉ DU JEU TÉLÉVISÉ AMÉRICAIN
LET'S MAKE A DEAL
Une voiture est mise en jeu pendant un divertissement à la télévision. Elle a été cachée, suite à
un tirage au sort aux issues équiprobables, par l'animateur derrière l' une des trois portes qui sont
présentées au candidat. Pour gagner la voi ture, le candidat doit retrouver l' unique porte qui permet
d'atteindre la voiture. Le jeu se déroule de la manière suivante. Le présentateur invite un candidat
à se présenter et à c hoisir l' une des trois portes, sans l'ouvrir. Le présentateur indique, parmi les
deux portes q ui n'ont pa• été c hoisies par le candidat, une porte ne permettant pas d'accéder à la
voiture puis l'ouvre. JI offre alors au concurrent la possibilité de conserver la porte qu'il a c hoisie
au début du jeu ou de la remplacer par celle qui reste encore fermée. Quel est le meilleur choix
pour le candidat?
Nous supposerons équiprobables les chances qu'une porte masque la voi ture. Nous excl uons également le mensonge ou une forme de préférence dans le choix du présentateur. Désignons par A la
porte c hoisie initialement par le candidat et par 8 e t C les deux autres. Nous ne savons pas laquelle
des portes le présentateur va c hoisir si les deux po. rtes 8 et Ç ne masq uent pa• la voiture. Si nous
voulons décrire complètement la situation en termes probabilistes, il fa ut dire comment s'effecme
le c hoix de la porte. En l'absence de toute autre information le candidat doit faire une nypothèse,
la plus plausible étant celle qui tient compte de son ignorance totale : si 8 et C ne masquent
pas la voiture, le présentateur choisira de nommer 8 avec la probabilité de 1/2 et par conséquent il nommera C avec la probabilité de 1/ 2. Ma.in tenant nous pouvons formaliser le problème.
L'ensemble fondamental est Q = l(X, Y)I où X prend ses valeurs dans l'ensemble lAB,AC, BCI
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T héorème: A,, . .. ,A,, sont mutuellement indépendants si et seulement si pour tout partiel c
[ 1: 11) l'égalité suivante est vérifiée
Propri été: Soit /1 événements A 1 , ••• ,A,, mutuellement indépendants. Alors les événements
8 1 , ... , 8,, oÙl pourtout i E l I, ... ,11 f, B; = A; ou B; = Af , sont mutuellement indépendants.
Indépendan ce mntnelle d ' une s uite infinie d 'événements
Soit (A;);m une suite infinie d'événements. Les événements A; sont mntnellement indé: pendants
ponr la probabilité Il' lorsque pour tout /1 E N, Ao, ... ,A,, sont des événements muruellement
indépendants pour la probabilité Il'.
T héorème : (A;);m est une famille d'événements mutuellement indépendants si et seulement si
pour tout parttie finie/ c N l'égalité suivante est vérifiée:
Il' ( OA; ) = 0 IP(A;).
Indépendan ce denx à denx de 11 événements
Soit /1 événements A,, ... ,An d'un espace probabilisé (Q, 'T, Il'). Les événements A,, ... , A,, sont
deux à denx indépendants ponr la probabilité Il' lorsque pour tout (i, j) E [ 1: 11D 2 , les événements A; et A j sont indépendants pour la probabilité Il'.
Rema rque
Trois événements A 8 et C peuvent être deux à deux indépendants sans que A, 8 et C soient mutuellement indépendants.
3. APPLICATION: MONTY HALL, INSPIRÉ DU JEU TÉLÉVISÉ AMÉRICAIN
LET'S MAKE A DEAL
Une voiture est mise en jeu pendant un divertissement à la télévision. Elle a été cachée, suite à
un tirage au sort aux issues équiprobables, par l'animateur derrière l' une des trois portes qui sont
présentées au candidat. Pour gagner la voi ture, le candidat doit retrouver l' unique porte qui permet
d'atteindre la voiture. Le jeu se déroule de la manière suivante. Le présentateur invite un candidat
à se présenter et à c hoisir l' une des trois portes, sans l'ouvrir. Le présentateur indique, parmi les
deux portes q ui n'ont pa• été c hoisies par le candidat, une porte ne permettant pas d'accéder à la
voiture puis l'ouvre. JI offre alors au concurrent la possibilité de conserver la porte qu'il a c hoisie
au début du jeu ou de la remplacer par celle qui reste encore fermée. Quel est le meilleur choix
pour le candidat?
Nous supposerons équiprobables les chances qu'une porte masque la voi ture. Nous excl uons également le mensonge ou une forme de préférence dans le choix du présentateur. Désignons par A la
porte c hoisie initialement par le candidat et par 8 e t C les deux autres. Nous ne savons pas laquelle
des portes le présentateur va c hoisir si les deux po. rtes 8 et Ç ne masq uent pa• la voiture. Si nous
voulons décrire complètement la situation en termes probabilistes, il fa ut dire comment s'effecme
le c hoix de la porte. En l'absence de toute autre information le candidat doit faire une nypothèse,
la plus plausible étant celle qui tient compte de son ignorance totale : si 8 et C ne masquent
pas la voiture, le présentateur choisira de nommer 8 avec la probabilité de 1/2 et par conséquent il nommera C avec la probabilité de 1/ 2. Ma.in tenant nous pouvons formaliser le problème.
L'ensemble fondamental est Q = l(X, Y)I où X prend ses valeurs dans l'ensemble lAB,AC, BCI
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