Fiche 19 • Probabilité conditionnelle et indépendance en probabilité
• Systèm e complet d 'événements
Soit (Q, 'T) un espace probabilisable. Soit (A;);u une suite d'événements der. Nous appelons
la famille (A;);., un système complet d'événem ents lorsque:
1. V(i, j) E / 2 tel q ue i ;t j, A;(l A j = 0 ;
2. LJA; =Q.
, . ,,
• Fonnnle d es proba bilités tota les
Soit (A;);., un système complet d'événements de probabilités toutes non nulles. Pour tout événement 8, nous avons:
IP(B) = L)CBnA;) = _L: JP(BIA;)ll'(A;).
it;, /
iEi. /
• Fonnnle d e Bayes
Pour tout système complet d'événements (A;);e1 de probabilités non nulles et pour tout événement B de probabilité non nulle, nous avons :
IP(A;IB) = IP(A;)ll'(BIA;) .
_L: IP(Aj )ll'(BIA j)
j 2. INDÉPENDANCE EN PROBABILITÉ
Évén em ents indépendants
Soit (Q, 'T, Il') un espace probabilisé. Nous appelons évén em ents indépendants pour la proba -
bilité li' des événements A et Bq ui vérifient:
Il' (A n B) = IP(A) x IP(B).
Propri été : Si A et B sont deux événements indépendants pour la probabilité Il', alors A et B", Ac
et B, Ac et B" sont également indépendants pour Il'_
Pour généraliser la notion d'indépendance à pl us die deux événements, nous utilisons la notion de
o--algèbre introduite à la Fiche 17.
Soit S une famille de parties de Q. L'intersection de toutes les o--algèbres sur Q qui contiennent
S est une o--algèbre sur Q q ui contient S. Nous la notons 'T(S) et nous l'appelons la a -algèbre
engendrée par S.
o--algèbres indépendantes
Soit (Q, 'T, ll') un espace probabilisé. Soit ('!";) 1 ~;~· une famille de11 o--algèbres contenues dans r.
Les o--algèbres 'T; sont indépendantes pour la probabilité li' lorsque pour toute famille (A ;) 1 ~;~·
d'événements telle que A; E 'T; pour tout i E [ 1 ;11 ), nous avons :
Indép endan ce mutuell e de 11 événements
Soit /1 événements Ai. ... ,An d' un espace probabilisé (Q, 'T, Il'). Les événements Ai. ... , A,, sont
mutuellement indépendants pour la proba bilité li' lorsque les 49