19 Probabilité conditionnelle
et indépendance en probabilité
Mots clés
Probabilité cond it ionnell e., système complet dévénements, formule de Bayes, ind épendance mutuelle.
ind épendance deu x à deux.
1. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE
• Définition
Soit (Q, '.r, IP) un espace probabilisé associé à o. Soit A un événement de probabilité non nulle.
Pour tout événement 8, nous posons:
IP(BIA) = IP(B n A).
IP(A)
L'application q ui à un événement BE r associe IP(BIA) est une probabilité sur (Q, 'T), appelée
probab ilité conditionnell e rela tive à A ou probab ilité sacha nt A.
• Pr op ri étés
1. IP(B'lA) = 1 - IP(BIA) ;
2. IP(B \ CIA) = IP(BIA) - IP(B n C IA) ;
3. si B c C, alors IP(BIA) .;; IP(CIA) ;
4. IP (B 1 u B 2 1A) = IP(B ,IA) + IP(B 2 1A) -IP (B, n B 2 1A) ;
S. si B et C sont incompatib les, alors IP (Bu CIA) = IP(BIA) + IP(CIA).
Pl us généralement, sil est une partie finie o u infinie de N ou de Z et si (8 1 ) 1 ., esu une suite
d'événements deux à deux incompatibles, IP(U 1 .,B 1 1 A) = 2; 1 ., IP(B;IA) ;
6. la formule dn crible ou de Poin caré se généralise en remplaçant IP par IP(·IA) ;
7. si (B;) ;,N est une suite d'événements, alors nous avons
,,~~ .. 1P(Qn1IA) = 1P(Qn1 IA).
, , ~~ .. IP ( ô B1IA) = 1P(Qn1 IA).
• Fonnnle d es proba bilités composées
Soit (A;)1 ( i(• une suite finie d'événements de '.r telle q ue l'événement A 1 n A1 n · · · n An-1
soit de probabilité non nulle (c'est-à-dire IP (A 1 n A1 n · · · n An-I) * 0). Nous avons l'égalité
suivante:
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