18 Espaces probabilisés
Mots clés
Espace probabilisé. formule du cri ble ou de Poincaré. limi te monoton e de la probabilité.
1. ESPACE PROBABILISÉ FINI
a) Définition
Nous appelons es pace proba bilisé fini associé à une expérience aléatoire f; le triplet (Q, 'P(Q), IP),
lorsque l' univers Q est fini.
b) Propriétés
Pour cous événements A ec 8 de 'P(Q), nous avons :
1. IP(A') = 1 - IP(A):
2. IP(8 \ A) = IP(8) - IP(A n 8):
3. si Ac B, alors IP(A) ,;; IP(8) (propriété de monotonie) :
4. IP (A U B) = IP(A) + IP(8) - IP (A n 8) :
S. si A et 8 sont incompatibles, alors IP (A U 8) = IP(A) + IP(8). Plus généralement : si
A,. .. ., A,, sont /1 événements deux à deux incompatibles, IP ( QA;) = t, IP(A;).
6. Formule dn crible ou de Poin caré : Pour coute suite d'événements (A;) 1 (;(,,, nous avons:
IP ( QA;) = t , IP(A;) +· · ·
+(- l)k+I
2:: IP (A;, n A;, n ... n A;, )
+··· + (- l)' .. 1 1P (A, n A1 n ... nA,,).
Remarque
Comme P(Q) = 1. n ous en déduisons l'égalité P(O) = O.
c) Équiprobabilité et probabilité uniforme
Nous disons q u 'il y a équiprobab ilité lorsque les probabilités de cous les événements élémentaires sont égales.
Dans ce cas, IP es t la probabilité uniforme sur (Q, 'P(Q)).
Conséquence: S'il y a équiprobabilité, pour cout événement A, nous avons alors:
IP(A) = Card (A) = nombre de cas favorables.
Card (Q)
nombre de ca~ possibles
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