Fiche 16 • Fonction caractéristique et fonction génératrice
b) Fonctions génératrices usuelles
• ( 1,11, (;) •...• (.~2)• Il, 1)
• (1, I, I, I, . .. , I, .. . )
• (0,l,2,3, ... ,k, ... ):
• (0,0, I, 3, 6, ... , (~) •... )
• (0, ... , 0, l,11, ... , (.~ ,) •... )
( •• ') (••k-1)
• ( l ,JJ, 2 ' ... ' ,,_, ' . • . )
• (1,0, l,O, ... , 1,0, ... ) :
• f' E N. ak = 1 si I' divise k, ak = 0 sinon
• (0, I, 1/ 2, 1/3, ... , l/k, ... ) :
• (1, I, 1/ (2!), 1/ (3!), ... , l/(k!), ... )
Remarque
(1 + .r)"
1 - x
1 - .1' 1'
1
ln-1 -x
ex px
= t(~)l' .
k=O
Une fiche ou un cours sur les séries entières d'un tome d'analyse contiendrait encore d'autres identités
remarquables utiles pour identifier une fonction génératrice.
3. APPLICATIONS
a) Jeu de dés
Nous lançons un dé rouge ec un dé bleu à six faces.
Commençons par déterminer le nombre de combinaisons possibles. Les dés étant de deux couleurs différences, il est possible de les distinguer. Nous obtenons ainsi un couple de résultats,
c hacune des coordonnées pouvant varier encre 1 ec 6. Il y a donc 6 X 6 = 36 combinaisons possibles.
Développons le polynôme P(x) = (x + .il + x 3 + .I"" + x5 + .. 0 )2.
P(x) = .il + 2x
3 + 3x
4 + 4x 5 + 5x
6 + 6.r
7 + 5x
8 + 4x
9 + 3x
10 + 2x
11 + x
12 •
Considérons la somme des valeurs des dés, quel est le nombre obtenu le plus souvent?
Chaque coefficient d'un terme de degré 11 du pol)'nôme précédent vaut le nombre de manières
différences possibles pour que la valeur de la somme des dés soie égale à 11. Ainsi 7 est la somme
la pl us fréq uente qu'il est possible d'obtenir avec deux dés à six faces.
b) Bonbons
Nous c herchons à déterminer le nombre de façons de distribuer six bonbons à quatre en fanes de
celle manière que c hacun en aie un ou deux.
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