Fiche 16 • Fonction caractéristique et fonction génératrice
2. FONCTION GÉNÉRATRICE
a) Définition et premières propriétés
Définition: Nous appelons fonction génératrice d"une suite d"entiers nacurels, (ak)k série fo rmelle notée f(x) e t défi nie par:
f(x) = I>k· I = I>k· I ·
k' N
Propri étés: Soit f(x) la fonction génératrice de (a 1 i. a 1 ,a 2 ,a 3 , ... , ak, .. . ) E NN e t g(x) la fonction
génératrice de (b 0 ,b 1 , b 2 ,b 3 , ... ,bk. .. . ) E NN.
• f et g sont égales si et seulement si pour cout emier naturel k, ak = bk.
• Décalage v ers la droite : (0,ao, 01 ,02, ... , ak- 1, .. . ).
xf(x) = .L: ak- 1.I .
k' N'
• Décalage v ers la gauche: (ai. a2,a3,a4, ... , ak+i. .. . ).
f(x) - ao _ '\'
k
- - - - L.J Ok+ I·- \" .. .
X
• Mise à l'échelle : A E IR, (a 0 , Aa 1 , A 2 a 2 , A 3 a 3 , ... , Jkak. . .. ).
f(1lx) = L(1lkaùl .
• Addition : (ao + bo, 01 + b1 ,a2 + b2,a3 + b3, ... ,ak + bk. .. . ).
• Multipli cation par l'indice: (ai,2a 2 ,3a 3 ,4a4, ... ,(k+ l)ak+h ·· .).
! '( ) - '\' k k- 1
X - L.J ilk .- \ .
• Division p a r l'indice: (O,arJl,a1/2,a2/3, .. . ,ak- 1/k, .. . ).
( ' f(u)du = '\' ..!!!__ /• 1 •
Jo
L..J k+ 1
• Différence : (a 0 , a 1 - ao,02 - 0 1 ,03 - 02, ... ,afl. - a k- 1, .. . ) .
( 1 - x)f(x) = ao + L;cak - ak- 1).I .
• S omme partielle : (a 0 , ao + ai. ao +a 1 + 02, ... , l::=o a, , . .. ).
f(x) - '\' r~ ) k
- - - L.J L.J a' .- \ .
1 - X
k 41