16 Fonction caractéristique
et fonction génératrice
Mots clés ----------------------------~
Fonction caracté ri stique, fon ction génératrice.
1. FONCTION CARACTÉRISTIQUE D'UNE PARTIE
Soit A une partie d' un ensemble E. La foncti on caractér istique d e A , ou fonction indicatri ce
d e A , notée 1 A. est une fonction définie sur E et à valeurs dans 10, l f par :
IA(X)= 1 sixEA et
IA(x)=Osixi!A.
Soit A et B deux parties d' un ensemble E et Ac le complémentaire de A dans E.
• I nclusion
AÇB Ç> VxEE, IA(x).;;ls(X).
• Complém entair e
Vx E E, IN( .. ~) = 1 - IA(X).
• Différence A \ B
Vx E E, IA 1 s(x) = IA(x)- IA(x)ls(x).
• I nter section
Vx E E, IMB(x) =min (IA(x), 1 8 (x)) = IA(x) · 1 8 (x).
En particulier
Vx E E, IA(x) = IAM(x) = IA(x) · IA(x) = IA(x)
2 .
• R éunion
Vx E E, IAus(x) = max (IA(x), ls(x))
= IA(x) + ls(x)- IA(x) · ls(x).
• Différence symétrique
VxE E,
IAt1s(x) = IA(x) + ls(x)-2· IA(x)· ls(x).
Proposition: L'ensemble des parties de E, 'P(E) est en bijection avec l'ensemble des fonctions
de E dans 10, l f, r(E, 10, 1 f) également noté 10, l fE.
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