79 Intervalles de confiance
et régression linéaire simple
Mots clés --------------------------------~
Intervalle de confiance pour les paramètresj3 1 et f3o, intervalle de prédiction d'une valeur individuelle.
Soit B 0 et B 1 les variables aléatoires qui prennent les valeurs,11 0 ,. et.111.,,. voir Fiche 7S pour une
définition de fJ 0 ,,,, p 1.,,, fo, fi,, et s:,.
1. INTERVALLE DE CONFIANCE POUR LES PARAMÈTRES
a) Intervalle de confiance pour la pente /3 1
d1
T héorème : La variance de B 1 est égale à ~( ) , où sl(x) est la variance de l'échantillon des x;.
JJS .\"
?
Elle est peut être estimée par .~ = ·?( ) . De plus, sous la condition que les variables aléatoires
1
JJS X
e; sont indépendantes et suivent la loi normale centrée et de variance d1, la variable aléatoire
B1 -.l11
T Bi.n-2 = - - - suit la loi de Student 1(11 - 2).
sn 1
Remarque
Pour vérifier la condition d'application, il n ous faudra réaliser un test de normalité, par exemple le test
de Shapiro-Wi lk décrit à la Fiche 71, sur les résidus ainsi qu'évaluer graphiquement l'homogénéité des
variances.
De ce théorème, nous en déduisons la proposition suivante qui nous donne l'intervalle de
confiance pour la pente,11 1 •
Proposition: Au risque a, la pente théorique,11 1 appartient à l'intervalle de confiance
J,8,-1,._2:1 -a/2 X sn 1 (obs) ;fi,+ ln-2:1 -<>/2 Xsn 1 (obs)[.
b) Intervalle de confiance pour l'ordonnée à l'origine fJo
T héorème : La variance de B 0 est égale à d1 r~ + ~;, ) . où .il(x) est la variance de l'échan11
llS (X)
tillon des X;. Elle est peut être estimée par st = .~ r~ + ;;. ). De plus, sous la condition que
Il
11 • .-( .. t)
les variables aléatoires e; sont indépendantes et suivent la loi normale centrée et de variance d1,
la variable aléatoire T n.,, 1 _ 2 =
80 - /Jo suit la loi de Student 1(11 - 2).
Sn,,
Remarque
Pour vérifier la condition d'application, il n ous faudra réaliser un test de normalité, par exemple le test
de Shapiro-Wi lk décrit à la Fiche 71, sur les résidus ainsi qu'évaluer graphiquement l'homogénéité des
variances.
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et régression linéaire simple
Mots clés --------------------------------~
Intervalle de confiance pour les paramètresj3 1 et f3o, intervalle de prédiction d'une valeur individuelle.
Soit B 0 et B 1 les variables aléatoires qui prennent les valeurs,11 0 ,. et.111.,,. voir Fiche 7S pour une
définition de fJ 0 ,,,, p 1.,,, fo, fi,, et s:,.
1. INTERVALLE DE CONFIANCE POUR LES PARAMÈTRES
a) Intervalle de confiance pour la pente /3 1
d1
T héorème : La variance de B 1 est égale à ~( ) , où sl(x) est la variance de l'échantillon des x;.
JJS .\"
?
Elle est peut être estimée par .~ = ·?( ) . De plus, sous la condition que les variables aléatoires
1
JJS X
e; sont indépendantes et suivent la loi normale centrée et de variance d1, la variable aléatoire
B1 -.l11
T Bi.n-2 = - - - suit la loi de Student 1(11 - 2).
sn 1
Remarque
Pour vérifier la condition d'application, il n ous faudra réaliser un test de normalité, par exemple le test
de Shapiro-Wi lk décrit à la Fiche 71, sur les résidus ainsi qu'évaluer graphiquement l'homogénéité des
variances.
De ce théorème, nous en déduisons la proposition suivante qui nous donne l'intervalle de
confiance pour la pente,11 1 •
Proposition: Au risque a, la pente théorique,11 1 appartient à l'intervalle de confiance
J,8,-1,._2:1 -a/2 X sn 1 (obs) ;fi,+ ln-2:1 -<>/2 Xsn 1 (obs)[.
b) Intervalle de confiance pour l'ordonnée à l'origine fJo
T héorème : La variance de B 0 est égale à d1 r~ + ~;, ) . où .il(x) est la variance de l'échan11
llS (X)
tillon des X;. Elle est peut être estimée par st = .~ r~ + ;;. ). De plus, sous la condition que
Il
11 • .-( .. t)
les variables aléatoires e; sont indépendantes et suivent la loi normale centrée et de variance d1,
la variable aléatoire T n.,, 1 _ 2 =
80 - /Jo suit la loi de Student 1(11 - 2).
Sn,,
Remarque
Pour vérifier la condition d'application, il n ous faudra réaliser un test de normalité, par exemple le test
de Shapiro-Wi lk décrit à la Fiche 71, sur les résidus ainsi qu'évaluer graphiquement l'homogénéité des
variances.
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