Fiche 75 • Test de Kruskal-Wallis
4. COMPARAISONS MULTIPLES
Test de Steel· -Dwass-C r itchlow-Fli guer :
Wn;,,, est la statistique de Wilcoxon q ui compare lei- ème traitement au i'-ème traitement, voir
Fiche 57. Les observations des deux groupes i et i' sont ordonnées puis regroupées en Ir classes
d'ex requo C; , 1 .; j .; Ir. Notons d; le nombre d'ex requo de la classe C; etm;.;- = 11; + 11;-.
Nous décidons q u'au seuil glob al a deux lois L ;(X) et L 1 (X), parmi les k (k - 1) comparai~ons
q ue nous allons faire, sont significativement différentes si :
1
111(mu + 1)1 ,
w,,"' ' -
2
.,, q (k; +oo ; 1 - a)
où q'(k, +oo; 1 - a) est le quantile d'ordre 1 - a pour la loi du maximum du module s tudentisé
pour k moyennes et +oo degrés de liberté. Contrairement aux trois autres approches présentées
ci-dessous, le test Steel-Dwa~s-Critchlow-Fligner n'est pa~ q u' une procédure de comparaisons
multiples: c'est une alternative complète au test de Kruskal-Wallis.
Si nous rejetons l' hypothèse nulle 'Hi» nous nous
Nous décidons q u 'au seuil a deux lois L;(X) et .[,,.. (X) sont significativement différentes si :
11. (11. + 1)(
T )~I
1 - - - -
- + -
12
n? - n. · n; 111 '
où x2Ck - 1 ; 1 - a) est le q uantile d'ordre 1 - a pour la loi du x2 à k - 1 degrés de liberté.
Nous décidons q u'au seuil glob al a deux lois L ;(X) et L 1 (X), parmi les k (k - 1) comparai~ons
q ue nous allons faire, sont significativement différentes si :
11. (n. + 1)(
T )~I
1- - - -
- + -
12
n? - n. · 11; n;' '
où 11( 1 - a /(k{k - 1 ))) est le q uantile d'ordre 1 - œ/(k(k - 1)) pour la loi normale centrée-réduite.
li s'agit d' une application des inégalités de Bonferroni. Cette procédure est pl us puissante q ue la
précédente.
Nous décidons q u'au seuil glob al a deux lois L ;(X) et L 1 (X), parmi les k (k - 1) comparai~ons
q ue nous allons faire, sont significativement différentes si :
1
-
-
1
11.(11. +l)(l - ~ T ) ·
R; .• - R 1 •.• ;;., q(k, +oo; 1 - a) .
12
" · - 11.
- - + -
1 ( 1
1 )
2 Il; J1 ;1 '
où q(k; +oo ; 1- a) est le quantile d'ordre 1- a pour la loi de l'étendue studentisée pour k moyennes
et +oo degrés de liberté. li s'agit d' une procédure analogue à celle de Tukey- Kramer dans le
cas paramétrique et valide asymptotiquement. Elle est généralement plus puissante q ue les deux
approches précédentes.
5. APPLICATION
Nous sommes en présence d'ex requo, nous devons donc utiliser la statistique de test K w,; ..
202
4. COMPARAISONS MULTIPLES
Test de Steel· -Dwass-C r itchlow-Fli guer :
Wn;,,, est la statistique de Wilcoxon q ui compare lei- ème traitement au i'-ème traitement, voir
Fiche 57. Les observations des deux groupes i et i' sont ordonnées puis regroupées en Ir classes
d'ex requo C; , 1 .; j .; Ir. Notons d; le nombre d'ex requo de la classe C; etm;.;- = 11; + 11;-.
Nous décidons q u'au seuil glob al a deux lois L ;(X) et L 1 (X), parmi les k (k - 1) comparai~ons
q ue nous allons faire, sont significativement différentes si :
1
111(mu + 1)1 ,
w,,"' ' -
2
.,, q (k; +oo ; 1 - a)
où q'(k, +oo; 1 - a) est le quantile d'ordre 1 - a pour la loi du maximum du module s tudentisé
pour k moyennes et +oo degrés de liberté. Contrairement aux trois autres approches présentées
ci-dessous, le test Steel-Dwa~s-Critchlow-Fligner n'est pa~ q u' une procédure de comparaisons
multiples: c'est une alternative complète au test de Kruskal-Wallis.
Si nous rejetons l' hypothèse nulle 'Hi» nous nous
Nous décidons q u 'au seuil a deux lois L;(X) et .[,,.. (X) sont significativement différentes si :
11. (11. + 1)(
T )~I
1 - - - -
- + -
12
n? - n. · n; 111 '
où x2Ck - 1 ; 1 - a) est le q uantile d'ordre 1 - a pour la loi du x2 à k - 1 degrés de liberté.
Nous décidons q u'au seuil glob al a deux lois L ;(X) et L 1 (X), parmi les k (k - 1) comparai~ons
q ue nous allons faire, sont significativement différentes si :
11. (n. + 1)(
T )~I
1- - - -
- + -
12
n? - n. · 11; n;' '
où 11( 1 - a /(k{k - 1 ))) est le q uantile d'ordre 1 - œ/(k(k - 1)) pour la loi normale centrée-réduite.
li s'agit d' une application des inégalités de Bonferroni. Cette procédure est pl us puissante q ue la
précédente.
Nous décidons q u'au seuil glob al a deux lois L ;(X) et L 1 (X), parmi les k (k - 1) comparai~ons
q ue nous allons faire, sont significativement différentes si :
1
-
-
1
11.(11. +l)(l - ~ T ) ·
R; .• - R 1 •.• ;;., q(k, +oo; 1 - a) .
12
" · - 11.
- - + -
1 ( 1
1 )
2 Il; J1 ;1 '
où q(k; +oo ; 1- a) est le quantile d'ordre 1- a pour la loi de l'étendue studentisée pour k moyennes
et +oo degrés de liberté. li s'agit d' une procédure analogue à celle de Tukey- Kramer dans le
cas paramétrique et valide asymptotiquement. Elle est généralement plus puissante q ue les deux
approches précédentes.
5. APPLICATION
Nous sommes en présence d'ex requo, nous devons donc utiliser la statistique de test K w,; ..
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