Fiche 75 • Test de Kruskal-Wallis
Sous l hypothèse nulle 'Ho, nous en déduisons que IB(W;) = 11;(11. + 1 )/2 ec Var (W;) =
11;(11. - 11;)(11. + 1 )/12. Ainsi par conséquent, nous avons :
1 k
(W; - IB (W;)) 2
KW. _ = - .L:(11. -11;) V (W-) ·
n. i= I
ar ,
Nous calculons alors l'espérance ec la variance de KW,,_ sous l' hypothèse nulle ' 11t> :
JB (KW,,.) = k- I,
-
· -
- 2 [3i? -6k+11.(2k2-6k+ll]_~~.!...
Var (KW,,.) - 2(k 1)
5
(
)
5
Li
Il . JJ. + (
i= I JJ;
2. li est possible de déterminer la distribution de KW,,. bien que le calcul soie complexe. Elle
est donc cabulée pour les faibles valeurs des 11;.
b) Règle de décision et conclusion du test
• Premier cas : L' un des effectifs 11;, 1 .;; i .;; k, est inférieur ou égal à 4 . Pour un seuil donné
Il', des tables de la loi de Kuskal -Wallis nous fournissent une valeur critique c&. Alors nous
décidons:
{
si KW •• (obs);;. c& 1{ 1 est vraie,
si KW •• (obs) < c& 'Hi> est vraie.
Le niveau de signification réel du test est généralement strictement inférieur à Il'.
• Second cas : Si 11;;;. 5, pour toue 1 .;; i .;; k, nou s utilisons l'approximation KW,,_ "'y(k - 1 ).
Pour un seuil donné Il', des tables de la loi du y nous fo urnissent une valeur critique c& celle
q ue 1!' 7-1 0 (-c& < Z,., .• , < c&) = 1 - Il'. Alors nous décidons:
{
si KW •• (obs);;. c& 1{ 1 est vraie,
si KW,,_(obs) < c& 'Hi> est vraie.
Lorsque nous rejetons 'Hti. nous décidons q ue 1{ 1 est vraie avec un risque d'erreur de première
espèce&.
Lorsque nous conservons 'Hti. c'est avec un risq ue d'erreur de deuxième espèce /J.
3. PRÉSENCE D'EX .IEQUO DANS LES OBSERVATIONS: LA MÉTHODE DES RANGS
MOYENS
À chaq ue nombre appartenant à un groupe d'ex a:xi uo nous attribuons le rang moyen du groupe
auquel il appartient puis nous déterminons la somme T = L.7= 1 (rf- 11) où 11 désigne le nombre
d'éléments du /-ème groupe d'ex requo. li est d' usage de substituer à KW •• la variable KW,;.
définie par:
KW,,.
nv,;. = - - - ,T =-1 - - -
1i! - 11.
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