75 Test de Kruskal-Wallis
Mots clés --------------------------------~
«Analyse de la variance n on paramétrique », comparaisons mult iples, test non paramétri que.
1. CONTEXTE DU TEST
a) Conditions d'application
Nous observons, de manière indépendance, une variable aléatoire X de loi continue, s ur k ;;. 3
populations, ou sur une population divisée en k ;;. 3 sous-populations. Nous supposons ainsi q ue
nous disposons de k échantillons aléatoires indépendants (X1.i, ... ,x,_,, 1 ), ••• , (Xk.i. ... ,Xk.n, )
et de k ;;. 3 séries d'observations (x 1.1, ... , xi.,,, ) pour la première, ... , (.rk.,, ... , Xk.,,, ) pour la
dernière. Nous notons .l,;(X) la loi de la variable aléatoire X sur la (sous-)population d'ordre i
avec 1 ,;; i ,;; k. Sans faire d' hypothèses spécifiqLtes, le test de Kruskal -Wallis ne permet pa~ de
tester l 'égalicé des moyennes ni celle des médianes.
b) Hypothèses du test
Le test de Krus kal-" Wa llisesc utilisé pourcescerles hypothèses suivantes:
contre
1f 1 : Les lois .[, 1 (X), ... , i:J,(X) ne sont pas cou ces identiques.
2. ABSENCE D'EX .tEQUO DANS LES OBSERVATIONS
a) Statistique de test
Calculons le rang R1.j de X1.j parmi les 11. valeurs, puis la somme des rangs a~sociée à c haq ue
échantillon: R; .• = I:~~ ' R1.j et enfin la moyenne des rangs de chaq ue échantillon: R,. = R; .• /11;.
La statistiq ue de Kruskal-Wallis KW, 1 • prend en compte l'écart encre la moyenne des rangs de
c haq ue échantillon et la moyenne de cous les rangs, qui vaut (11. + 1 )/2:
12
k
( -
" · + 1)2
KW • . = (
) .L:11; R; .• - - 2
-
n. n. + 1 i=I
12
k R ,. 2
=
.L:- - 3(11, + 1 ).
11. (11. + 1) i=I Il;
Propri étés : Lorsque l' hypothèse nulle 'Ho est vraie, la variable aléatoire KW,,. a les crois propriétés suivantes.
1. Pour i = I, ... , k, W; = 11 1 R 1 .• esc la scacisciquede Wilcoxon qui compare lei-ème ttraicemenc
aux k - 1 autres traitements.
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