4. COMPARAISONS MULTIPLES
a) Objectif
Fiche 72 • Analyse de la variance a un facteur
Lorsque pour la comparaison des espérances la décision est « l hypothèse alternative 1{ 1 est
vraie», pour analyser les différences nous procédons à des tests q ui comparent ces espérances
encre elles. Ce sont les tests de comparaisons mu ltiples, adaptations du test de Scudenc. Un des
tests les plus connus est le test de Tukey ou le test de Tukey-Kramer 1 •
b) Le test de Tukey
Les moyennes observées Yi sont rangées par ordre croissant. Nous les notons alors :
Y( I)• Y(2) .. - ., Y(/)•
ec les espérances a~sociées
H ypothèses du test :
Pour c haq ue i < i', nous considérons:
j 1fo : µ (il = µ (i•) 1
contre
Conditions d 'application du test :
Les crois conditions fondamentales doivent être remplies.
S ta tis tique d·u tes t :
Nous considérons le rapport:
Y< i ') - ÏÏ< i>
T i' ;(obs) = --.=====
:1 (_!_ + .!..)
2 Jlj' Jlj
Le rapport T i'.i(obs) est une réalisation de la variable aléatoire T i' i q ui, si l' hypothèse mille 1-lii est
vraie ec si les crois conditions fondamentales sont remplies, suie la loi de l' étendue s tudenti sée
pour l espéra.nces et /1 - l degrés de liberté q ui est notée f (11- / ; /).
Règle de déc: is ion et conclusion du test :
Pour un seuil Il' donné, les tables de la loi de l'étendue studencisée nous fo urnissent u ne valeur
critique c& celle que ll'7{ 0 (T.;; c&) = 1 - Il'. Alors nous décidons:
{
si T i'.i(obs) ;;. c&
s1 T i • .;(obs) < c&
'H. 1 est vraie,
1-lii est vraie.
Nous pouvons aussi raisonner et conclure avec la p -valeur du test donnée par le logiciel de statistique q ue nous utilisons, comme nous avons pris l habitude de faire.
Remarque
La valeur crit ique ~ ne dépend qu e des indices n - 1. degrés de liberté de la somme des carrés résiduell e,
et de /, nombre des espérances comparées.
1. Le test de Tukeyest ini1ialeinen1 pré\'u dans leca~ où le plan est équilibré. t.andi.~ que le test de Tukey-Kr.a1 ner lui est
pré\'u dans le cas déséquilibré.
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a) Objectif
Fiche 72 • Analyse de la variance a un facteur
Lorsque pour la comparaison des espérances la décision est « l hypothèse alternative 1{ 1 est
vraie», pour analyser les différences nous procédons à des tests q ui comparent ces espérances
encre elles. Ce sont les tests de comparaisons mu ltiples, adaptations du test de Scudenc. Un des
tests les plus connus est le test de Tukey ou le test de Tukey-Kramer 1 •
b) Le test de Tukey
Les moyennes observées Yi sont rangées par ordre croissant. Nous les notons alors :
Y( I)• Y(2) .. - ., Y(/)•
ec les espérances a~sociées
H ypothèses du test :
Pour c haq ue i < i', nous considérons:
j 1fo : µ (il = µ (i•) 1
contre
Conditions d 'application du test :
Les crois conditions fondamentales doivent être remplies.
S ta tis tique d·u tes t :
Nous considérons le rapport:
Y< i ') - ÏÏ< i>
T i' ;(obs) = --.=====
:1 (_!_ + .!..)
2 Jlj' Jlj
Le rapport T i'.i(obs) est une réalisation de la variable aléatoire T i' i q ui, si l' hypothèse mille 1-lii est
vraie ec si les crois conditions fondamentales sont remplies, suie la loi de l' étendue s tudenti sée
pour l espéra.nces et /1 - l degrés de liberté q ui est notée f (11- / ; /).
Règle de déc: is ion et conclusion du test :
Pour un seuil Il' donné, les tables de la loi de l'étendue studencisée nous fo urnissent u ne valeur
critique c& celle que ll'7{ 0 (T.;; c&) = 1 - Il'. Alors nous décidons:
{
si T i'.i(obs) ;;. c&
s1 T i • .;(obs) < c&
'H. 1 est vraie,
1-lii est vraie.
Nous pouvons aussi raisonner et conclure avec la p -valeur du test donnée par le logiciel de statistique q ue nous utilisons, comme nous avons pris l habitude de faire.
Remarque
La valeur crit ique ~ ne dépend qu e des indices n - 1. degrés de liberté de la somme des carrés résiduell e,
et de /, nombre des espérances comparées.
1. Le test de Tukeyest ini1ialeinen1 pré\'u dans leca~ où le plan est équilibré. t.andi.~ que le test de Tukey-Kr.a1 ner lui est
pré\'u dans le cas déséquilibré.
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