Fiche 72 • Analyse de la variance a un facteur
d) Tableau de l'analyse de la variance
Le tableau de l'analyse de la variance résume l'ensemble de la procédure :
Variation
SC
ddl
-
CM
F(obs)
Fcrirlque
CM1ac
Due au facteur SC1ac
/-1
CM1ac
CM,..
Ca
Résiduelle
se,., n-1 CM,..
Totale
SCror
n-1
3. VÉRIFICATION DES TROIS CONDITIONS FONDAMENTALES
Nous étudions les possibilités d'évaluer la validité des trois ronditions fondamentales que nous
avons supposées satisfaites jusqu'à maintenant.
a) Condition d'indépendance
JI n'existe pa,, dans un contexte général, de test statistique simple permettant d 'étudier l'ind épendance. Ce sont les conditions de l'expérience qui nous permettront d'affirmer que cette
condition est remplie.
b) Condition de normalité
Nous ne pourrons pa,, en général, la tester pour c haque échantillon. En effet le nombre d'observations est so uvent très limité pour c haque échantillon. Nous allons donc la tester sur lensemble
des données. Si les trois conditions fondamentales sont satisfaites et si nous notons:
Si, j = Y;,j - µ ;,
alors les variables aléatoires S(j suivent coutes la même loi N(O ;
valeur observée !/;.j et les espérancesµ;. Ces dernières étant inconnues, nous les estimons avec
les estimateurs de l'espéranœ Y; où Y;= j L:1=' Y;.j. Nous en déduisons les estimations Y;· Les
quantités suivantes, notées ê,·,j et définies par:
ê;,j =y;,j-Y;, pouri= 1, ... ,/, et}= l, ... ,J.
s'appellent les résidus. La notation êi.j souligne que les résidus peuvent s'interpréter comme des
estimations des variables d'erreur. Nous désignons paré;.j la variable aléatoire dont le résidu êi.j
est la réalisation.
Plusieurs tests permettent de tester la normalité d'une variable. Un des plus performants est le test
de Sh apiro-Wilk qui est présenté à la Fiche 71. Pour tester la normalité des variables d'erreur
e;. j , nous utiliserons l'échantillon formé les résidus.
c) Condition d'homogénéité
Plusieurs tests permettent de tester légalité de plusieurs variances. Parmi œ ux-ci, le test le plus
utilisé est le t.est de Bartlett dont le protocole est d étaillé à la Fiche 74.
d) Et si les conditions ne sont pas vérifiées?
Dans le cas où les conditions ne sont pas vérifiées, il nous faut alors envisager un test non paramétrique: le test de Kruskal-'Wallis, voir la Fiche 75 .
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d) Tableau de l'analyse de la variance
Le tableau de l'analyse de la variance résume l'ensemble de la procédure :
Variation
SC
ddl
-
CM
F(obs)
Fcrirlque
CM1ac
Due au facteur SC1ac
/-1
CM1ac
CM,..
Ca
Résiduelle
se,., n-1 CM,..
Totale
SCror
n-1
3. VÉRIFICATION DES TROIS CONDITIONS FONDAMENTALES
Nous étudions les possibilités d'évaluer la validité des trois ronditions fondamentales que nous
avons supposées satisfaites jusqu'à maintenant.
a) Condition d'indépendance
JI n'existe pa,, dans un contexte général, de test statistique simple permettant d 'étudier l'ind épendance. Ce sont les conditions de l'expérience qui nous permettront d'affirmer que cette
condition est remplie.
b) Condition de normalité
Nous ne pourrons pa,, en général, la tester pour c haque échantillon. En effet le nombre d'observations est so uvent très limité pour c haque échantillon. Nous allons donc la tester sur lensemble
des données. Si les trois conditions fondamentales sont satisfaites et si nous notons:
Si, j = Y;,j - µ ;,
alors les variables aléatoires S(j suivent coutes la même loi N(O ;
valeur observée !/;.j et les espérancesµ;. Ces dernières étant inconnues, nous les estimons avec
les estimateurs de l'espéranœ Y; où Y;= j L:1=' Y;.j. Nous en déduisons les estimations Y;· Les
quantités suivantes, notées ê,·,j et définies par:
ê;,j =y;,j-Y;, pouri= 1, ... ,/, et}= l, ... ,J.
s'appellent les résidus. La notation êi.j souligne que les résidus peuvent s'interpréter comme des
estimations des variables d'erreur. Nous désignons paré;.j la variable aléatoire dont le résidu êi.j
est la réalisation.
Plusieurs tests permettent de tester la normalité d'une variable. Un des plus performants est le test
de Sh apiro-Wilk qui est présenté à la Fiche 71. Pour tester la normalité des variables d'erreur
e;. j , nous utiliserons l'échantillon formé les résidus.
c) Condition d'homogénéité
Plusieurs tests permettent de tester légalité de plusieurs variances. Parmi œ ux-ci, le test le plus
utilisé est le t.est de Bartlett dont le protocole est d étaillé à la Fiche 74.
d) Et si les conditions ne sont pas vérifiées?
Dans le cas où les conditions ne sont pas vérifiées, il nous faut alors envisager un test non paramétrique: le test de Kruskal-'Wallis, voir la Fiche 75 .
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