Fiche 72 • Analyse de la variance a un facteur
b) Conditions fondamentales
Nous supposons q ue les variables erreurs E:;,j satisfont les trois conditions suivantes:
1. elles sont indépendantes ;
2. elles ont mêm e variance inconnue (]' 2 . C'est la condition d' homogén éité des v arian ces
ou d · ho moscédas tici té ;
3. elles suivent une loi nonnale centrée.
c) Modèle statistique
Le modèle statistique dans le cas éq uilibré s'écrit sous la forme suivante:
Y;,j suit la loi N(µ ;;(J'), pouri= 1, ... ,/ et j= 1, ... ,1.
Ainsi nous constatons que, si les lois des variables Y;,j sont différentes, elles ne peuvent différer
q ue par leur espérance. Il y a donc un simple décalage encre elles.
Remarque
Le p lus sou vent. le m odèl e stati sti que est écri t de la façon suivante :
YiJ = µ+ < r; +Sij
o ù l es '"~i suivent l a l oi N(O; u ). p our i = 1 •...• I et j = 1. ...• J.
et l es
2. QUELQUES RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES
Nous cherchons à déterminer si toutes les espérancesµ; sont égales, µ 1 = µ1 = · · · = µ,. Une
méthode qui permet d'effectuer ce test est appelée l'analyse de la varia nce à 1111 l'acteur.
a) Deux propriétés fondamentales
• Première propriété : La moyenne de toutes les observations est la moyenne des moyennes des
observations de c haque échanci lion :
1 J I
1 I J
1 I
iï,, = - l:: l:: 11;.j = - l:: l::!/ij = ï l:: Y;·
JJ j= I i=I
JJ i= I j= I
i= I
• Deuxième propriété : La variance de toutes les observations est la somme de la variance non
corrigée des moyennes et de la moyenne des variances non corrigées :
?
I~~
- ?
I~ - - ? I~
S-(y) = ;; LJ L..J(!f;,j - y,,t = ï L..J(!f; - y,,t + ï LJ -~(y).
1= 1 J= I
i= I
1= 1
(72.1)
b) Résultat fondamental de l'analyse de la variance
En multipliant les deux membres de l'équation (72.1 ) par 11, nous obtenons:
192
b) Conditions fondamentales
Nous supposons q ue les variables erreurs E:;,j satisfont les trois conditions suivantes:
1. elles sont indépendantes ;
2. elles ont mêm e variance inconnue (]' 2 . C'est la condition d' homogén éité des v arian ces
ou d · ho moscédas tici té ;
3. elles suivent une loi nonnale centrée.
c) Modèle statistique
Le modèle statistique dans le cas éq uilibré s'écrit sous la forme suivante:
Y;,j suit la loi N(µ ;;(J'), pouri= 1, ... ,/ et j= 1, ... ,1.
Ainsi nous constatons que, si les lois des variables Y;,j sont différentes, elles ne peuvent différer
q ue par leur espérance. Il y a donc un simple décalage encre elles.
Remarque
Le p lus sou vent. le m odèl e stati sti que est écri t de la façon suivante :
YiJ = µ+ < r; +Sij
o ù l es '"~i suivent l a l oi N(O; u ). p our i = 1 •...• I et j = 1. ...• J.
et l es
2. QUELQUES RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES
Nous cherchons à déterminer si toutes les espérancesµ; sont égales, µ 1 = µ1 = · · · = µ,. Une
méthode qui permet d'effectuer ce test est appelée l'analyse de la varia nce à 1111 l'acteur.
a) Deux propriétés fondamentales
• Première propriété : La moyenne de toutes les observations est la moyenne des moyennes des
observations de c haque échanci lion :
1 J I
1 I J
1 I
iï,, = - l:: l:: 11;.j = - l:: l::!/ij = ï l:: Y;·
JJ j= I i=I
JJ i= I j= I
i= I
• Deuxième propriété : La variance de toutes les observations est la somme de la variance non
corrigée des moyennes et de la moyenne des variances non corrigées :
?
I~~
- ?
I~ - - ? I~
S-(y) = ;; LJ L..J(!f;,j - y,,t = ï L..J(!f; - y,,t + ï LJ -~(y).
1= 1 J= I
i= I
1= 1
(72.1)
b) Résultat fondamental de l'analyse de la variance
En multipliant les deux membres de l'équation (72.1 ) par 11, nous obtenons:
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