72 A1 nalyse de la variance
à un fadeur
Mots clés
Analyse de la variance à un facteur, relat ion fondamentale, tableau d'analyse de la variance., test de Fisher,
comparaisons mult iples, tests de Tukey et de Tukey-Kramer.
L'analyse de la variance est l' une des procédures les plus utilisées dans les applications de la
statistiq ue ainsi que dans les méthodes d'analyse de données. Elle permet de comparer les espérances de variables aléatoires indépendantes gaussiennes de même variance entre : p lusieurs
populations.
1. MODÉLISATION STATISTI QUE
a) Définitions et notations
Pour c haque mesure, deux variables sont observées:
1. une variable qualitative qui est appelée le l'acteur, qui est totalement contrôlée par l 'expérimentateur et donc est à effets fixes ;
2. une variable quantitative continue, appelée la réponse, qui est généralement une mesure
expérimentale.
Notations:
• La variable mesurée à l'issue d'une telle expérience est notée Y.
• Pour les ol>servations, deux indices sont utilisés :
- le premier indice indique le numéro du groupe dans la population, noté en général i
- le second indice indique le numéro de l'observation dans c hacun des groupes qui composent
l'échantillon, noté en général j.
• Les observations sont en général notées par !/ij <>Ù i varie de 1 à let j de 1 à 11;.
Définition: L'expérience est dite équili brée si les échantillons sont de même taille, c'est-à-dire
11; = J pour i = I, .. . , /.
Remarques
1. Seul le plan équilibré sera détaillé par la suite mais les logiciels no us permettent d'analyser aussi des
expériences déséquilibrées.
2. Lorsque l'expérience est équilibrée l'effectif total n est égal à /J.
3. Lorsque les effectifs des échantillons sont fortement inégau x., les différences qu'il est possible de détecter sont supérieures à celles d'une expérience équilibrée qui aurait le même effectif tota l. L'analyse
est donc moins performante.
Définition: En se plaçant dans le cas équilibré, les moyennes de chaque échantillon sont notées
par y 1 et les v:ariances, non corrigées, de chaque échantillon par .q(y) :
1 J
ii1 = 1 l:: 111.j•
j= I
J
.r2(y) = ~ '\'(y· . - -!/ )2
1
J L.J 1. )
1
'
j= 1
i= 1,. . ., /.
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à un fadeur
Mots clés
Analyse de la variance à un facteur, relat ion fondamentale, tableau d'analyse de la variance., test de Fisher,
comparaisons mult iples, tests de Tukey et de Tukey-Kramer.
L'analyse de la variance est l' une des procédures les plus utilisées dans les applications de la
statistiq ue ainsi que dans les méthodes d'analyse de données. Elle permet de comparer les espérances de variables aléatoires indépendantes gaussiennes de même variance entre : p lusieurs
populations.
1. MODÉLISATION STATISTI QUE
a) Définitions et notations
Pour c haque mesure, deux variables sont observées:
1. une variable qualitative qui est appelée le l'acteur, qui est totalement contrôlée par l 'expérimentateur et donc est à effets fixes ;
2. une variable quantitative continue, appelée la réponse, qui est généralement une mesure
expérimentale.
Notations:
• La variable mesurée à l'issue d'une telle expérience est notée Y.
• Pour les ol>servations, deux indices sont utilisés :
- le premier indice indique le numéro du groupe dans la population, noté en général i
- le second indice indique le numéro de l'observation dans c hacun des groupes qui composent
l'échantillon, noté en général j.
• Les observations sont en général notées par !/ij <>Ù i varie de 1 à let j de 1 à 11;.
Définition: L'expérience est dite équili brée si les échantillons sont de même taille, c'est-à-dire
11; = J pour i = I, .. . , /.
Remarques
1. Seul le plan équilibré sera détaillé par la suite mais les logiciels no us permettent d'analyser aussi des
expériences déséquilibrées.
2. Lorsque l'expérience est équilibrée l'effectif total n est égal à /J.
3. Lorsque les effectifs des échantillons sont fortement inégau x., les différences qu'il est possible de détecter sont supérieures à celles d'une expérience équilibrée qui aurait le même effectif tota l. L'analyse
est donc moins performante.
Définition: En se plaçant dans le cas équilibré, les moyennes de chaque échantillon sont notées
par y 1 et les v:ariances, non corrigées, de chaque échantillon par .q(y) :
1 J
ii1 = 1 l:: 111.j•
j= I
J
.r2(y) = ~ '\'(y· . - -!/ )2
1
J L.J 1. )
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