Fiche 70 • Test exact de Fisher-Freeman-Halton
dans le cas de la Fiche 63, nous pouvions déduire coutes les valeurs du tableaux en connaissant
uniquement ses marges et une des valeurs des effectifs n 1 . 1 ,11 1 .2, n2. 1 ou n2.2 et ainsi ranger « naturellement » les tableaux dans lordre croissant ce q;ui permettait alors de définir facilement ce que
nous entendions par une distribue ion aussi ou plus anormale que celle du tableau observée.
li s'agit en fait d'un niveau de signification maximal Il' car la distribucion hypergéométrique généralisée sur laquelle repose le test est discrète.
• La dénomination « exact» du test vient du fait que nous ne faisons appel à aucune approximation pour calculer la /J-valeur du test.
• Le niveau de signification du test est d'au plus a, il se peut qu'il soie beaucoup plus faible, ce
qui fait de ce test un test conservacif.
• Lorsque les effectifs observés sont relativement importants, il devient difficile d'évaluerde manière exacte la /J-valeur du test. Certains logiciels proposent alors de la calculer par simulation.
3. APPLICATION: COULEUR DES YEUX ET DES CHEVEUX
Nous c herchons à déterminer si les données suiva ntes permettent de mettre en évidence un lien
encre la coule ur des yeux et la couleur des c heveux.
~ X
Brun Chatain
Roux Blond Totaux
Marron
14
24
5
1
44
Noisette
3
11
3
2
19
Vert
1
6
3
3
13
Bleu
4
17
4
19
44
Totaux
22
58
15
25
120
Le calcul des effectifs attendus montre que les conditions d'utilisation d'un test du Khi-deux ne
sont pa~ remplies puisque six cellules one des effectifs attendus inférieurs ou égaux à 5 :
~ X
Brun Chatain Roux Blond
Marron
8,07
21,27
5,50
9, 17
Noisette
3,48
9, 18
2, 38
3, 96
Vert
2, 38
6,28
1,62
2, 71
Bleu
8,07
21,27
5,50
9, 17
li est néanmoins possible d'utiliser un test de exact de Fisher-Freeman-Halcon obtenu ici avec le
logiciel R en simulant la /J-valeur à partir d'un échantillon de 500000 tableaux parmi cous ceux
pour lesquels il fa udrait calculer la fonction D(y). En évaluant le dénominateur de la formule
permettant de calculer IP (y), nous voyons qu'il existe un cotai de 8,061168 X 1()28 3 tableaux de
ce type. Ceci explique pourquoi si nous réalisons plusieurs fois ce test la p-valeur pourra varier
légèrement à c haque essai.
La /J-valeur est égale à 0,000194 < 0,05. Nous en déduisons donc une dépendance significative
au seuil de Il' = 5 % encre la couleur des yeux et la couleur des cheveux. Le risque associé à cette
décision est lin risque de première espèce égal à 5 %.
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dans le cas de la Fiche 63, nous pouvions déduire coutes les valeurs du tableaux en connaissant
uniquement ses marges et une des valeurs des effectifs n 1 . 1 ,11 1 .2, n2. 1 ou n2.2 et ainsi ranger « naturellement » les tableaux dans lordre croissant ce q;ui permettait alors de définir facilement ce que
nous entendions par une distribue ion aussi ou plus anormale que celle du tableau observée.
li s'agit en fait d'un niveau de signification maximal Il' car la distribucion hypergéométrique généralisée sur laquelle repose le test est discrète.
• La dénomination « exact» du test vient du fait que nous ne faisons appel à aucune approximation pour calculer la /J-valeur du test.
• Le niveau de signification du test est d'au plus a, il se peut qu'il soie beaucoup plus faible, ce
qui fait de ce test un test conservacif.
• Lorsque les effectifs observés sont relativement importants, il devient difficile d'évaluerde manière exacte la /J-valeur du test. Certains logiciels proposent alors de la calculer par simulation.
3. APPLICATION: COULEUR DES YEUX ET DES CHEVEUX
Nous c herchons à déterminer si les données suiva ntes permettent de mettre en évidence un lien
encre la coule ur des yeux et la couleur des c heveux.
~ X
Brun Chatain
Roux Blond Totaux
Marron
14
24
5
1
44
Noisette
3
11
3
2
19
Vert
1
6
3
3
13
Bleu
4
17
4
19
44
Totaux
22
58
15
25
120
Le calcul des effectifs attendus montre que les conditions d'utilisation d'un test du Khi-deux ne
sont pa~ remplies puisque six cellules one des effectifs attendus inférieurs ou égaux à 5 :
~ X
Brun Chatain Roux Blond
Marron
8,07
21,27
5,50
9, 17
Noisette
3,48
9, 18
2, 38
3, 96
Vert
2, 38
6,28
1,62
2, 71
Bleu
8,07
21,27
5,50
9, 17
li est néanmoins possible d'utiliser un test de exact de Fisher-Freeman-Halcon obtenu ici avec le
logiciel R en simulant la /J-valeur à partir d'un échantillon de 500000 tableaux parmi cous ceux
pour lesquels il fa udrait calculer la fonction D(y). En évaluant le dénominateur de la formule
permettant de calculer IP (y), nous voyons qu'il existe un cotai de 8,061168 X 1()28 3 tableaux de
ce type. Ceci explique pourquoi si nous réalisons plusieurs fois ce test la p-valeur pourra varier
légèrement à c haque essai.
La /J-valeur est égale à 0,000194 < 0,05. Nous en déduisons donc une dépendance significative
au seuil de Il' = 5 % encre la couleur des yeux et la couleur des cheveux. Le risque associé à cette
décision est lin risque de première espèce égal à 5 %.
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