Fiche 70 • Test exact de Fisher-Freeman-Halton
Les marges (n1.. , ... ,1111 .• , 11 •. ,, ... ,11 •. k) étant fixées, la con naissance de/rk-/r-k+ 1 = (Ir - l)(k-1)
valeurs détermine celle de coutes les autres.
2. PROCÉDUR E DE TEST
a) Hypothèses testées
Nous souhaitons c hoisir encre les deux hypothèses suivantes:
11-li> : X ec Y sont indépendances 1
contre
1 1{ 1 : X ec Y sont liées. I
Remarque
Ce test peut également être utilisé pour comparer k pourcentages sur I populations.
b) Statistique de test
Nous montrons q ue, lorsque l' hypothèse nulle 1-li> est vraie, la probabilité d'obtenir un tableau y
appartenant à r s'exprime à l'aide d' une loi hypergéométrique généralisée:
IP (y) =
I
[C11 1.1 +···+111.k)!X···
111.1!X .. ·X11u!(111.1 + .. ·+11u)!
X(1111.1 + .. ·+11u) 1 X(111.1 + .. ·+1111.1) 1 X(ll1.k+· .. +11ul']
n:=, 11; .• ! n~= ' "·./
Le principe du cesc consiste à évaluer la probabilité de rencontrer une distribue ion aussi anormale
ou plus anormale dans un tableau y der que celle q ue nous avons observée y(obs) :
1'2 =
2:: IP (y)
D(y)> D(l<<>b.<))
= IP (D(y) ;;. D(y(obs)))
où la fonce ion y-> D(y) est définie pour cout y E r par :
(2n)
2
" - 2- " - 2[
(/r-l)(k-1)
/r-1
k-1
1
D(y) = - 2 ln
N (hk; 1)
0 Il;_. D 11 • • j IP (y) .
c) Règle de décision et conclusion du test
Nous définissons alors la région critique du test comme la partie r • del 'ensemble de référencer:
r • = {!I E T tels q ue D(y) ;;. D(x)) .
Le cesc bilatéral de niveau a- conduit alors au rejet de l' hypothèse nulle 1-li> quand la probabilité
totale J'2 calculée par la méthode ci -dessus est inférieure ou égale à a-.
Nous remarq uons q ue la /J-valeur calculée à la Fiche 63 pour le ca~ d' un cesc exact de Fisher sur
un tableau de caille 2 x2 n'est pas obtenue de la même manière q u'ici. Ceci est dü a.u fait q ue
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