70 Test exact
de Fisher-Freeman-Halton
Mots clés --------------------------------~
Test exact de Fisher-Freeman-Halton. test d'indépen dance., test de comparaison de k proport ions sur I
popul ations.
L'extension d u test exact de Fisher au ca~ où les deux variables étudiées ont un nombre fini
q uelconque de modalités, mais supérieur à deux, a été réalisée en premier par G.H. Freeman et
J.H. Hallon en 1951, c'est pourquoi ce test est aussi parfois appelé test de Freeman-Halton ou de
Fisher-Freeman-Halton.
1. CONTEXTE DU TEST
Soit X et Y deux variables quantitatives discrètes ou qualitatives. Nous nous donnons un échantillon aléatoire ((X 1 , Y 1 ), ••• , (X,,, Y,,)) suivant la loi de (X, Y) ainsi q u' un échantillon (x,y) formé
d' une réalisation de chaque (X;, Y;), 1 .;; i .;; 11. Enfin nous notons x l'échantillon des réalisations
de X et y l'échantillon des réalisations de Y. Nous considérons le tableau des effectifs 1r;.j suivant
c hacune des h modalités de X et des k modalités de Y apparaissant dans l'échamillon (x , y) :
0 t
k
Tota ux
n,,,
n,J
n,,k
n,,.
n,.,,
nu
n! k
n1 .•
h
n1>,1
n•J
nh,k
n1>, .
Totaux
n .. 1
n • .J
nk,•
n •.• = n
Dans ce tableau, les marges (111. • •... ,11 11 .• , 11 •. 1 ,. • • , 11 •. k) n'apportent pas d'information s uri 'éventuelle dépendance de X et de Y. En effet, elles n'indiquent que la répartition des effectifs
encre les Ir modalités de X, indépendamment de la valeur de Y, et la répartition des effectifs
encre les k modalités de Y, indépendamment de la valeur de X. Ce sont les valeurs prises par
111 .1,JJ 1. 2, ... , JJ 1.1:, n2.1, ... ,ll2J:, .. . ,n;.b . .. ,1111.1:-1 et """' qui servent pour étudier la dépendance
de X et de Y.
L'idée du test exact de Fisher est de considérer l'ensemble Tdes tableaux ayant les mêmes marges
(n 1 •• , ••• ,1111 .• ~11 •. 1 , ... , n •. k) que le tableau des effectifs observés ci-dessus :
~1' Lo . ... nn_.) _
{ n •. 1 • •• J1 • .A) -
"'·' ... "'·' ... JJ1.1
n;.1 · · · 11;.; · · · 11;.1 , avec
1111.1 ••• 1111 •. ••• llh.k
186
111.1 + ... +111.t =111..
n11.1 + ... +1111.1: =n11..
111.1 + ... +1111.1 = n •. 1
n1x+ ... +1111.1: =n •. 1:
de Fisher-Freeman-Halton
Mots clés --------------------------------~
Test exact de Fisher-Freeman-Halton. test d'indépen dance., test de comparaison de k proport ions sur I
popul ations.
L'extension d u test exact de Fisher au ca~ où les deux variables étudiées ont un nombre fini
q uelconque de modalités, mais supérieur à deux, a été réalisée en premier par G.H. Freeman et
J.H. Hallon en 1951, c'est pourquoi ce test est aussi parfois appelé test de Freeman-Halton ou de
Fisher-Freeman-Halton.
1. CONTEXTE DU TEST
Soit X et Y deux variables quantitatives discrètes ou qualitatives. Nous nous donnons un échantillon aléatoire ((X 1 , Y 1 ), ••• , (X,,, Y,,)) suivant la loi de (X, Y) ainsi q u' un échantillon (x,y) formé
d' une réalisation de chaque (X;, Y;), 1 .;; i .;; 11. Enfin nous notons x l'échantillon des réalisations
de X et y l'échantillon des réalisations de Y. Nous considérons le tableau des effectifs 1r;.j suivant
c hacune des h modalités de X et des k modalités de Y apparaissant dans l'échamillon (x , y) :
0 t
k
Tota ux
n,,,
n,J
n,,k
n,,.
n,.,,
nu
n! k
n1 .•
h
n1>,1
n•J
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Totaux
n .. 1
n • .J
nk,•
n •.• = n
Dans ce tableau, les marges (111. • •... ,11 11 .• , 11 •. 1 ,. • • , 11 •. k) n'apportent pas d'information s uri 'éventuelle dépendance de X et de Y. En effet, elles n'indiquent que la répartition des effectifs
encre les Ir modalités de X, indépendamment de la valeur de Y, et la répartition des effectifs
encre les k modalités de Y, indépendamment de la valeur de X. Ce sont les valeurs prises par
111 .1,JJ 1. 2, ... , JJ 1.1:, n2.1, ... ,ll2J:, .. . ,n;.b . .. ,1111.1:-1 et """' qui servent pour étudier la dépendance
de X et de Y.
L'idée du test exact de Fisher est de considérer l'ensemble Tdes tableaux ayant les mêmes marges
(n 1 •• , ••• ,1111 .• ~11 •. 1 , ... , n •. k) que le tableau des effectifs observés ci-dessus :
~1' Lo . ... nn_.) _
{ n •. 1 • •• J1 • .A) -
"'·' ... "'·' ... JJ1.1
n;.1 · · · 11;.; · · · 11;.1 , avec
1111.1 ••• 1111 •. ••• llh.k
186
111.1 + ... +111.t =111..
n11.1 + ... +1111.1: =n11..
111.1 + ... +1111.1 = n •. 1
n1x+ ... +1111.1: =n •. 1: