Fiche 67 • Test du Khi-deux: adéquation
2. APPLICATION: LES INCONTOURNABLES BOULES
Nous sélectionnons 160 boules dans une urne à quatre couleurs dont nous ne connaissons pas la
répartition. À partir de cet échantillon, nous voulons savoir s'il est possible que la répartition des
couleurs dans l' urne soit de 9/ 16 de boules noires, 3/ 16 de boules rouges, 3/16 de boules jaunes
e t 1/ 16 de boules vertes. Les données ont é té reportées dans le tableau suivant :
Couleurs
Noir Rouge
Jaune Vert Totaux
-
Proportions théoriques
9
3
3
1
1
ï6
ï6
ï6
ï6
Effectifs observés
100
18
24
18
160
Nous nous demandons s'il est plausible que l'échantillon ( 100, 18, 24, 18) provienne d ' une urne
à quatre couleurs de composition (9/ 16, 3/ 16, 3/16, 1/16). Nous allons calculer quels seraient les
effectifs si la répartition théorique é tait respectée. Ainsi avec les 160 boules, si la réparti tion
théorique était respectée nous aurions 160 X 9/16 = 90 boules noires.
Nous obtenons les résultats suivants :
Couleurs
Noir Rouge Jaune Vert Totaux
Effectifs théoriques
90
30
30
10
160
Les effectifs théoriques sont tous supérieurs à 5 e t l'effectif total est supérieur à 50. Les conditions
d'application du test d'adéquation du Khi-deux sont donc bien remplies.
?( l )
(100-90)2 (18-30)2 (24-30) 2 (18-10)2
10 24 6 32
608
X0 's =
90
+
30
+
30
+
10
= 9 + S + S + S = 45·
Si l' hypothèse nulle 'Ho est vraie, alorsx
2 (obs) est une réalisation d'une variable aléatoire qui
suit la loi dux
2 à (4 - 1) degrés de liberté. Nous obtenons une valeur x
2 (obs) = 13,5 111. Pour
a- = 5 %, la valeur critiq ue d'une loi du x 2 à 3 degrés de liberté vaut CoJlS = 7,8147 e t par
conséquentx
2 (obs) > c 0 . 05 . La répartition observée nous permet d'affirmer que la répartition des
couleurs au sein de l' urne est significativement dlifférente de la répartition théoriq ue introduite
ci-dessus avec un risque d'erreurde première espèce égal à 5 %.
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