6 7 Test du Khi-deux adéquation
Mots clés --------------------------------~
f st du Khi-deux., test d'adéquation.
1. PROCÉDURE DU TEST
a) Description du test
Le test suivant permet de s'intéresser à la possibilité de l'adéq uation de la loi d'une variable
aléatoire X à une loi de probabilité donnée. Il est adapté pour des lois de probabilité discrètes
et peut être également utilisé pour une loi continue entièrement spécifiée. Nous détaillons son
application au cas d'une loi discrète finie définie par (qx) x,
l 11o: (Px) x,EX = (q ,) x,EX 1
contre
l 111 : (Px) x;
Considérons un échantillon formé de réalisations indépendantes de la variable aléatoire X et de
taille /1 =m. = m 1 + .. · +m1 où m; est l'effectif observé a~socié à x 1 , c'est-à-dire le nombre d'individus de l'échantillon qui présentent X;. Soit c; = m . qx; l'effectif théorique associé à .>:;, c'est-àdire le nombre d'individus que, compte tenu de la taille de l'échantillonet de la loi (qx) :r;•X· nous
nous attendions à voir posséder x 1 • De plus, des conditions portent sur les effectifs tl1éoriqnes,
c;"" 5, et sur l'effectif' total de l'échantillon, m. "" 50.
d) Statistique du test
Si l' hypothèse nulle 110 est vérifiée et lorsque les conditions d'application du test sont remplies,
I
(
)'
x
2 (obs) = L:: m; - C; - est une réalisation d'une variable aléatoire qui suit approximativement
i=I
C;
la loi du Khi-de ux à (/ - 1) degrés de 1 iberté.
Remarque
Il est possible d'utiliser ce test pour tester l'adéq uation possible à une loi appartenant à une famille de
lois dont il faut de surcroît estimer les paramètres, au nombre de m. La difficulté principale de cette
extension de ce test est qu'il faut avoir conscien ce que la technique d'estimation utilisée pour obtenir le
vecteur m des paramètres estimés a une influence sur la nature de la loi asymptotique de la statistique
du test.
Si I classes sont utilisées et m paramètres sont estimés avec les estimateurs de maximum devrai:semblance
pour la loi multinomiale, avec les estimateurs par x 2 minimal ou par x2 minimal modifié alors cette loi
est une loi du Khi-deux à/ - m - 1 degrés de liberté.
180
Mots clés --------------------------------~
f st du Khi-deux., test d'adéquation.
1. PROCÉDURE DU TEST
a) Description du test
Le test suivant permet de s'intéresser à la possibilité de l'adéq uation de la loi d'une variable
aléatoire X à une loi de probabilité donnée. Il est adapté pour des lois de probabilité discrètes
et peut être également utilisé pour une loi continue entièrement spécifiée. Nous détaillons son
application au cas d'une loi discrète finie définie par (qx) x,
l 11o: (Px) x,EX = (q ,) x,EX 1
contre
l 111 : (Px) x;
Considérons un échantillon formé de réalisations indépendantes de la variable aléatoire X et de
taille /1 =m. = m 1 + .. · +m1 où m; est l'effectif observé a~socié à x 1 , c'est-à-dire le nombre d'individus de l'échantillon qui présentent X;. Soit c; = m . qx; l'effectif théorique associé à .>:;, c'est-àdire le nombre d'individus que, compte tenu de la taille de l'échantillonet de la loi (qx) :r;•X· nous
nous attendions à voir posséder x 1 • De plus, des conditions portent sur les effectifs tl1éoriqnes,
c;"" 5, et sur l'effectif' total de l'échantillon, m. "" 50.
d) Statistique du test
Si l' hypothèse nulle 110 est vérifiée et lorsque les conditions d'application du test sont remplies,
I
(
)'
x
2 (obs) = L:: m; - C; - est une réalisation d'une variable aléatoire qui suit approximativement
i=I
C;
la loi du Khi-de ux à (/ - 1) degrés de 1 iberté.
Remarque
Il est possible d'utiliser ce test pour tester l'adéq uation possible à une loi appartenant à une famille de
lois dont il faut de surcroît estimer les paramètres, au nombre de m. La difficulté principale de cette
extension de ce test est qu'il faut avoir conscien ce que la technique d'estimation utilisée pour obtenir le
vecteur m des paramètres estimés a une influence sur la nature de la loi asymptotique de la statistique
du test.
Si I classes sont utilisées et m paramètres sont estimés avec les estimateurs de maximum devrai:semblance
pour la loi multinomiale, avec les estimateurs par x 2 minimal ou par x2 minimal modifié alors cette loi
est une loi du Khi-deux à/ - m - 1 degrés de liberté.
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