Fiche 66 • Test du coefficient de corrélation de Kendall
li mesure le degré de concordance, si r(X, Y) > 0, ou, au contraire, le degré de discordance, si
r(X, Y) < 0, et possède les propriétés suivantes :
• - 1 .; r(X, Y) .; 1 ;
• si les variables aléatoires X et Y sont indépenda.ntes alors r(X, Y) = 0 ;
• r(X, Y) = 1 (resp. r(X, Y) = -1) si et seulement si il existe une fonction croissante (resp.
décroissance) de IR dans IR telle que Y = (X);
• si et l/t désignent deux fonctions croissantes de IR dans IR alorsr((X), l/f(Y)) = r(X, Y) ;
• si (X, Y) rnit une loi normale bivariée alors r(X, Y) etp(X, Y) sont liés par la relation: p(X, Y)=
sin (tr/2 x r(X, Y)).
3. ESTIMATION DE r (X, Y)
L'estimation se fait de manière« naturelle »: nous commençons par compter le nombre de paires
de couples concordants c et le nombre de paires de couples discordants d dans l'échantillon
(x1, 111 ), ... , (x,,, 11 11 ). li apparaît ici une difficulté supplémentaire par rapport à la théorie. En effet
la loi de (X, Y) esc continue dont la probabilité que X 1 = X2 ou que Y 1 = Y2 esc nulle. Mais
dans l'échantillon il se peut néanmoins que nous observions plusieurs fois la même valeur. Nous
notons alors e le nombre de ces paires de couples. Ce sont celles pour lesquelles nous avons
(xi - xi)(!fj - !li) =O. Dans un premiertemps nous supposerons qu'il n'y a pas d'ex req uo.
c = le nombre de paires de couples (Xi, !li), (y i. y i ) tels que (Xj - Xi )(y i - y il > 0
avec 1 .; i < j.; 11.
d = le nombre de paires de couples (Xi, !li), (y i. y i ) tels que (.tj - Xi )(y i - y il < 0
avec 1 .; i < j.; 11.
e = le nombre de paires de couples (Xi, !li), (y i. y i ) tels que (Xj - Xi )(y i - y il = 0
avec 1 .; i < j.; 11.
Rappelons que pour le moment nous supposons que e =O. Toute paire de couples esc forcément
du type c ou du type d et ainsi c + d = 11(11 - 1 )/2 qui esc le nombre total de paires de couples q u' i 1
esc possible de faire.
Nous notons C,,, D,, et E,, les variables aléatoires associées à c, d et e et nous définissons alors:
2 c.- 11(11- 1)
2
r,,( X, Y) =
11(11 - 1)
- 2 -
= ~-1.
11(11- 1)
Sous l' hypothèse nulle 'Ho « X et Y sont indépendantes» la distribution de r 11 a les propriétés
suivantes:
• -1 .; r,, .; I, une valeur proche de 1 suggérant une forte concordance entre les valeurs prises
par X et Y, une valeur proche de - 1 suggérant une forte discordance entre les valeurs prises par
Xet Y.
• r 11 ( X, Y) est un estimateur sans biais et convergent de r(X, Y). Nous le notons donc désormais
r 11 ( X, Y)= rCX.-Y).
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