66 Test du coefficient de corrélation
de Kendall
Mots clés
Coefficient de corrélation de Kendall, test non paramétrique.
1. CADRE D'APPLICATION
La mesure de la dépendance au sens de Kendall entre deux variables aléatoires continues X et Y
sera notée r( X, Y).
Ce nombre pourra être estimé par la statistiq ue de Kendall r,, définie sur un échantillon
((Xi, Yi), ... , (X •• Y.)) indépendant et identiquement distribué.
La statistique Tn permet de réaliser plusieurs tests bilatéraux et unilatéraux.
2. LE COEFFICIENT DE CORRÉLATION r (X, Y) DE KENDALL
Considérons deux paires (x;, y;) et (.tj. !/j) issues d'une réalisation de l'échantillon ((X 1. Yi), .. .,
(X,,, Y,,)). Elles sont dites :
• concordanues si (x 1 - Xj)(y 1 - !/j) > 0, c'est-à-dire si nous avons simultanément (x; > Xj) et
(y;> !/j) OU (X;< Xj) et (y;< !/j).
• discordantes si (x 1 - Xj)(y 1 - !/j) < 0, c'est-à-dire si nous avons simultanément (x; > Xj) et
(y;< !/j) OU (X;< Xj) et (y;> !/j).
Considérons deux couples de variables aléatoires (X 1 , Y 1 ) et (X2, Y2) de même loi que celle du
couple étudié (X, Y).
Une concordance parfaite est telle que X2 > Xi <--> Y2 > Yi, c'est-à-dire:
IP ((X 2 > X,) et (Y 2 > Y,))+ IP ((X 2 < X,) et (Y 2 < Y,))= 1
cequiéquivaut à IP ((X2-X 1 )(Y2-Y 1 )>0)= 1.
Une discorda.nce parfaite est telle que X2 > X 1 <--> Y2 < Y 1 , c'est-à-dire:
IP ((X 2 > X 1 ) et (Y 2 < Y 1 )) + IP ((X 2 < X 1 ) et (Y 2 > Y 1 )) = 1
ce qui équivaut à IP ((X2 - X 1 )(Y2 -Y 1 ) < 0) = 1.
Nous introdu isons donc r•(x, Y) et r-(x, Y) qui mesurent respectivement la concordance et la
discordance du couple (X, Y) :
r•(x, Y) = IP ((X2 - X, )(Y2 - Y,)> 0)
r-(x, Y) = IP ((X2 - x, )(Y2 - Y,) < 0).
Le coefficientt r(X, Y) de Kendall est défini par :
r(X, Y) = r• (X, Y) - r-(x, Y).
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