65 Test du coefficient de corrélation
de Spearman
Mots clés ------------------------------~
Coefficient de corrélation de Spearman, test non paramétrique.
La mesure de la dépendance au sens de Spearman entre deux variables aléatoires continues X et
Y est notée par ps(X, Y). li pourra être estimé pa.r la statistique de Spearman Ps .• (X, Y) définie
sur un échantillon aléatoire ((X 1 , Y,), ... , (X., Y,,)) suivant la loi de (X, Y). La statistique de Spearman Ps.,,(X, Y) est basée sur l'étude de la corrélation des rangs et est appelée le coefficient de
corrélation de Spearman.
Ce coefficientt a le mêmechampd'applicationque la statistique de Kendall r,,(X, Y), voir Fiche 66,
qui lui est préférée généralement. li permet de tester l'indépendance ou de mesurer le degré de
dépendance entre deux variables aléatoires appariées continues quelconques.
Remarque
La statistique Ps,n(X. Y) permet de réaliser plusieurs tests bilatéraux et unilatéraux.
1. LE COEFFICIENT DE CORRÉLATION ps (X, Y) DE SPEARMAN
a) Généralités
Le coefficient de corrélation de Spearman est un nombre associé à (X, Y) qui sert à mesurer le
degré de dépendance qui lie X et Y. li peut être défini comme étant le coefficient de oorrélation
simple du couple aléatoire (F x(X), Gy(Y)), où F x est la fonction de répartition de X ec Gr celle
de Y. li est noté ps(X, Y) et défini par:
Ps(X, Y)= p(F xCXl. Gy(Y)).
li possède les propriétés suivantes :
• -1.; ps(X,Y).;I;
• «X et Y indépendantes» implique ps(X, Y) = 0:
• ps(X, Y) = 1 (respectivement ps(X, Y) = -1) si et seulement si il existe une fonction croissante (respectivement décroissante) de nt dans Ill telle que Y = (X):
• si ecl/f désignent deux fonctions croissantes de IR dans IR alorsps((X), ifi(Y)) = Ps(X, Y),
b) Estimation de ps (X, Y)
À chaque couple (x;,y;) de l'échantillon nous associons le couple d'entiers (r;, s;) où r ; est le rang
de X; dans x,, ... , x. et s; est le rang de y; dans y 1 , ••• , !!•· Nous appelons R; la variable aléatoire
associée au rang d'un X;, et S; celle associée au rang d'un Y;, puis nous posons R = (R 1 , ••• , R,,)
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