63 Test de comparaison
de deux proportions
Mots clés --------------------------------~
Test avec approximation normale, test exact de Fisher, test exact de Barn ard.
Dans deux populations indépendantes, un caractère q ualitatif X pouvant prendre la modalité A est
observé. Les fréq uences d'apparition de A dans les deux populations sont les nombres inconnus
irA . I et irA . 2 . Soit 11; le nombre de personnes présentes dans l'échantillon i, llA.; le nombre de
personnes de l'échantillon i qui présentent la modalité A et fA.; la fréquence associée. Posons
11. = 11 1 +112 la somme des deux effectifs des deux échantillons et''= (11A. I + llA.2)/11 • • Les tests
unilatéraux se déduisent facilement de la procédure q ue nous allons introduire.
1. TEST AVEC APPROXIMATION NORMALE
a) Hypothèses testées
Nous souhaitons c hoisir entre les deux hypothèses suivantes:
b) Conditions d'application du test
11-/() : lfA. I = lfA.2 1
contre
Les deux échantillons sont indépendants et formés de réalisations indépendantes du caractère X.
Les effectifs 11 1 ;;. 30 et 112 ;;. 30 peu vent ne pas être égaux.
c) Statistique du test
La variable aléatoire Z., .,,,
fA.1 - fA .2
suit approximativement la loi normale
1
1
p(l - /J)( - + - )
JJ1
JJ2
centrée-réduite.
d) Règle de décision et conclusion du test
La valeur critiq ue du test, c 1 ...., 12 , est lue dans une table de la loi normale centrée-réduite. Si la
valeur de la statistique calculée sur) 'échantillon, notée z,., .• ,(obs), n'appartient pa~ à) "intervalle
) - Ci-a12: c, ....,f21, alors le test est significatif. Nous rejetons 1-li> et nous décidons que 1f 1 est
vraie avec un risque de première espèce a-. Si la va leur de la statistique calculée sur) 'échantillon,
notée llA.1 (obs), appartient à l'intervalle ) - Ci-a12 : c, ....,n[, alors le testn 'est pa~ significatif. Nous
conservons 'Ho avec un risque de deuxième espèce /J.
2. TEST EXACT DE FISHER
a) Hypothèses testées
Ce sont les mêmes hypothèses que dans la première section.
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