62 Test d' Ansari-Bradley de
comparaison de deux variances
Mots clés
Test d'Ansary-Bradleyde comparaison de deux variances, test non paramétrique.
Le test d'Ansary-Bradleyest basé sur l'étude des rangs observés dans les deux échantillons. li
s'applique en présence de deux variables aléatoires continues quelconques.
1. CADRE D'APPLICATION
Soit X et Y deux variables aléatoires continues et Ir une fonction de densité. Nous nornns fx la
fonction de densité de X e t gy celle de Y. Nous supposons que fx(l) = lr((l - m)/s)/s e t gy(l) =
lr(T- m) olim est un paramètre de nuisance et sest le paramètred'intérêtqui est égal au rapport des
paramètres d'échelle des distributions. Par exemple, si nous appliquons ce test à deux variables
qui suivent des lois normales, le rapport des paramètres d'échelle s est égal au rapport d es écarcstypes de ces deux variables.
2. PROCÉDURE DE TEST
a) Hypothèses testées
Le test d' Ansari-Bradley permet de tester l' hypoth èse suivante:
contre
b) Conditions d'application du test
li fa ut que I' échanti lion X1, ... , x,.. soit des réalisations indépendantes de la variable aléatoire
X qui suit une loi normale et que le second échantillon !/1>·· .,y,,, soit aussi des réalisations
indépendantes de la variable aléatoire Y qui suit une loi normale. De plus les effectifs 11 1 et 11 2 ne
sont pa~ forcément égaux. Enfin, les variables aléatoires X et Y doivent être indépendantes.
c) Statistique du test
Pour obtenir la statistique AB,,,.,,, du test d' Ansari-Bradley, nous devons procéder à des calculs
successifs :
1. Nous classons par ordre croissant l'ensemble des observations des deux échantillons
(xi, ... ,x,,, ) et (y 1 , ••• , y,,,) de taille respective11 1 et11 2 .
2. Nous affectons le rang correspondant en partant de 1 et à partir des deux extrémités en
direction du centre de l'échantillon.
Si 11 1 + 112 est pair, nous attribuons donc les rangs suivants : I, 3, 5, ... , (m + 11)/2, (m +
11)/ 2, ... , 5, 3, 1 aux observations.
Si 11 1 +112 est impair, nous attribuons donc les rangs suivants: I, 3, 5, ... , (m +11 - 1 )/2, (m +
11 + 1 )/2, (m + 11 - 1 )/2, ... , 5, 3, 1 aux observations.
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comparaison de deux variances
Mots clés
Test d'Ansary-Bradleyde comparaison de deux variances, test non paramétrique.
Le test d'Ansary-Bradleyest basé sur l'étude des rangs observés dans les deux échantillons. li
s'applique en présence de deux variables aléatoires continues quelconques.
1. CADRE D'APPLICATION
Soit X et Y deux variables aléatoires continues et Ir une fonction de densité. Nous nornns fx la
fonction de densité de X e t gy celle de Y. Nous supposons que fx(l) = lr((l - m)/s)/s e t gy(l) =
lr(T- m) olim est un paramètre de nuisance et sest le paramètred'intérêtqui est égal au rapport des
paramètres d'échelle des distributions. Par exemple, si nous appliquons ce test à deux variables
qui suivent des lois normales, le rapport des paramètres d'échelle s est égal au rapport d es écarcstypes de ces deux variables.
2. PROCÉDURE DE TEST
a) Hypothèses testées
Le test d' Ansari-Bradley permet de tester l' hypoth èse suivante:
contre
b) Conditions d'application du test
li fa ut que I' échanti lion X1, ... , x,.. soit des réalisations indépendantes de la variable aléatoire
X qui suit une loi normale et que le second échantillon !/1>·· .,y,,, soit aussi des réalisations
indépendantes de la variable aléatoire Y qui suit une loi normale. De plus les effectifs 11 1 et 11 2 ne
sont pa~ forcément égaux. Enfin, les variables aléatoires X et Y doivent être indépendantes.
c) Statistique du test
Pour obtenir la statistique AB,,,.,,, du test d' Ansari-Bradley, nous devons procéder à des calculs
successifs :
1. Nous classons par ordre croissant l'ensemble des observations des deux échantillons
(xi, ... ,x,,, ) et (y 1 , ••• , y,,,) de taille respective11 1 et11 2 .
2. Nous affectons le rang correspondant en partant de 1 et à partir des deux extrémités en
direction du centre de l'échantillon.
Si 11 1 + 112 est pair, nous attribuons donc les rangs suivants : I, 3, 5, ... , (m + 11)/2, (m +
11)/ 2, ... , 5, 3, 1 aux observations.
Si 11 1 +112 est impair, nous attribuons donc les rangs suivants: I, 3, 5, ... , (m +11 - 1 )/2, (m +
11 + 1 )/2, (m + 11 - 1 )/2, ... , 5, 3, 1 aux observations.
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