Fiche 57 • Test de Mann-Whitney
Pour un seuil donné Il', une table de la loi normale centrée réduite nous fo urnie L1ne valeur
critique Ca celle que ll' 7{ 0 (-ca < Z, 11 .• , {
si z. ,.,,,(obs) i!) - Ca; +Ca( 1f1 est vraie,
s1 Z.,.,,,(obs) E) - Ca; +ca( 1fo est vraie.
Lorsque nous rejetons 1fo, nous décidons q ue 1f 1 est vraie avec un risque d'erreur de première
espèce&.
Lorsque nous conservons 1fo, c'est avec un risq ue d'erreur de deuxième espèce /J.
3. PRÉSENCE D'EX .iEQUO PARMI LES OBSERVATIONS : MÉTHODE DES RANGS
MOYENS
Cette méthode est la plus utilisée, en particulier dans la plupart des logiciels statistiques.
a) Modification de la statistique du test
Les observations X1, ... , x,, 1 , y 1 , ... , y 11 ~ peuvent présenter des ex req uo. Les valeurs <>bservées
x,, ... , x,,,. y,, ... , y,,, sont ordonnées puis regroupées en h classes d'ex requo Cj. 1 .;; j .;; h.
Certaines cla~ses C j peu vent comporter un seul élément, si cet élément n'a pas d'ex req LLO. No cons
dj le nombre d'ex requo de la classe Cj . Nous avons :
"
L:dj =11, +JJ2.
j= I
En associant à la variable X; son rang moyen Ri dans ce classement et en sommant les rangs de
cous les éléments X; du premier échantillon, nous obtenons la statistique de Wilcoxon modifiée
pour prendre en compte la présence d'ex requo, w,;, .• , :
"'
iv,~_,, 2 = 2: R7.
i=I
Propriétés: Lorsque l' hypothèse nulle 1{ 0 est vraie, la variable aléatoire w,;,,,,, a les crois propriétés suivames.
1. IB(w,;,,.,) = m• =111 (111+112+1)/2.
2.
Var(w,;, .• ,) = (u•)
2
=11 1 11 2 (11 1 +11 2 + 1)/12
3. Pour 11 1 > 15 et 112 > 15, nous utiliserons l'approximation normale avec correction de
continuité :
( •
)
(" - m• + 1/2)
J?'ffo w,,1 ,112 ~ li =
(]'*
où est la fonction de répartition de la loi normale centrée-réduite et 11 est LLO nombre
entier.
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