Fiche 57 • Test de Mann-Whitney
4. Nous en déduisons les quantités u., et u., q ui se calculent ainsi:
111(111 + 1)
U,,, = n1112 +
2
- R,, 1 et
Enfin, la statistiq ue U,.,_,,, du test de Mann-Whitney de l'échantillon se définit comme étant la
plus petite des deux valeurs U,., et U,,,.
Remarque
Pour calculer la qu antité Un,. il est conseill é d'u ti liser 1 a relation Un, = n 1 n 2 - Un, .
Propri étés : Lorsq ue l'hypothèse nulle 'Ho est vraie, la variable aléatoire U,,,,,,, a les trois propriétés suivantes.
1. U,,,,,, est symétrique autour de son espérance JB (U,, 1 ,, 1 , ) = 11 1 112/2.
2. Var(U,,,,,, ) = 111112(111 +112 + 1)/12.
3. U,,,,,, est tabulée pour de faibles valeurs de 11 1 ec de 11 2 . Pour 11 1 > 20 ec 11 2 > 20, nous
utiliserons l'approximation normale avec correction de continuité:
où est la fonction de répartition de la loi normale centrée-réduite et 11 est LLO nombre
entier.
Remarque
La p résen ce du « 1 »dans l'expression de est la correction de continu ité.
Remarque
La statistique de Wilcoxon, notée W n1oni' est égale à la somme des rangs pour le premier échantillon :
Wn"n 1 = Rn, . Nous avons les égalités suivantes : E (Wn"n 1 ) = n1 (n1 +ni+ 1) /2 et Var (Wn"n 1 ) = n1n2(n1 +
ni+ 1)/12.
b) Règle de décision et conclusion du test
• Premier cas : Les tailles 11 1 ou 112 sont inférieLL res ou égales à 20. Pour un seuil donné a, des
tables de la loi de Mann-Whitney nous fournissent une valeur critiq ue Ca. Alors nous décidons:
{
si U,., ,., (obs) .;; Ca 1f 1 est vraie,
si U,, 1 ,,, (obs) > Ca 1fo est vraie.
Le niveau de signification réel du test est généralement strictement inférieur à a.
• Second cas : Les cailles 111 ec 112 sont supérieures strictement à 20. La statistiq ue Un,.n, suie
approximativement la loi normale N(11 1 112/2; ·../11 1 112(11 1 + 112 + 1 )/12) et nous utilisons alors la
statistiq ue suivante qui tient compte de la correction de continuité:
2u,,, .,,~ + 1 - "'"2
111112(111 +112 + 1)
3
155
4. Nous en déduisons les quantités u., et u., q ui se calculent ainsi:
111(111 + 1)
U,,, = n1112 +
2
- R,, 1 et
Enfin, la statistiq ue U,.,_,,, du test de Mann-Whitney de l'échantillon se définit comme étant la
plus petite des deux valeurs U,., et U,,,.
Remarque
Pour calculer la qu antité Un,. il est conseill é d'u ti liser 1 a relation Un, = n 1 n 2 - Un, .
Propri étés : Lorsq ue l'hypothèse nulle 'Ho est vraie, la variable aléatoire U,,,,,,, a les trois propriétés suivantes.
1. U,,,,,, est symétrique autour de son espérance JB (U,, 1 ,, 1 , ) = 11 1 112/2.
2. Var(U,,,,,, ) = 111112(111 +112 + 1)/12.
3. U,,,,,, est tabulée pour de faibles valeurs de 11 1 ec de 11 2 . Pour 11 1 > 20 ec 11 2 > 20, nous
utiliserons l'approximation normale avec correction de continuité:
où est la fonction de répartition de la loi normale centrée-réduite et 11 est LLO nombre
entier.
Remarque
La p résen ce du « 1 »dans l'expression de est la correction de continu ité.
Remarque
La statistique de Wilcoxon, notée W n1oni' est égale à la somme des rangs pour le premier échantillon :
Wn"n 1 = Rn, . Nous avons les égalités suivantes : E (Wn"n 1 ) = n1 (n1 +ni+ 1) /2 et Var (Wn"n 1 ) = n1n2(n1 +
ni+ 1)/12.
b) Règle de décision et conclusion du test
• Premier cas : Les tailles 11 1 ou 112 sont inférieLL res ou égales à 20. Pour un seuil donné a, des
tables de la loi de Mann-Whitney nous fournissent une valeur critiq ue Ca. Alors nous décidons:
{
si U,., ,., (obs) .;; Ca 1f 1 est vraie,
si U,, 1 ,,, (obs) > Ca 1fo est vraie.
Le niveau de signification réel du test est généralement strictement inférieur à a.
• Second cas : Les cailles 111 ec 112 sont supérieures strictement à 20. La statistiq ue Un,.n, suie
approximativement la loi normale N(11 1 112/2; ·../11 1 112(11 1 + 112 + 1 )/12) et nous utilisons alors la
statistiq ue suivante qui tient compte de la correction de continuité:
2u,,, .,,~ + 1 - "'"2
111112(111 +112 + 1)
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