57 Test de Mann-Whitney
Mots clés --------------------------------~
Test de W ilcoxon-M an n-Whi tney en absence d'ex .;equo, test de W ilcoxon-M ann-Whit ney en présence
d'ex .:equ o, méth ode des rangs moyens, test non paramétri qu e.
Le test de l\
en faitéquiva.lents. En fonction de l'outil informatique utilisé, la dénomination du test pourraêtre
l' une des suivantes: Test de Mann-Whitney, Test de Wilcoxon de la somme des rangs o u encore
Test de Wilcoxon-Mann-Whitney.
L'approche de Mann et Whitney paraît souvent plus facile à mettre en pratique. Si nous devons
utiliser une table, il nous fa udra déterminer quelle a été l'approche utilisée par le logiciel statistique et nous servir de l' une des tables appropriées.
Nous observons, de manière indépendante, une variable aléatoire X de loi continue sur deux
populations ou sur une population divisée en deu x sous-populations. Nous obtenons ainsi deux
séries d'observations notées (.. r1.1, ... , X1. n, ) pour la première et (.. r2.1, ... , x2,,,) pour la seconde.
Nous notons .l;(X) la loi de la variable aléatoire X sur la ;ènr (sous-)population.
Sans faire d' hypothèses spécifiques, le test de Ma.nn-Whitney-Wilcoxon ne permet pas de tester
l'égalité des moyennes ni celle des médianes entre les deux (sous-)populations même dans le cas
où les variances ou les mads de la variable X sont égales sur les deux (sous-)populations. Pour
s'en convaincre, il suffit de s'intéresser à l'exemple suivant:
• premier échantillon I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29:
• secondécnantillon 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,30,31, 32,33, 34,35,36, 37,38.
1. HYPOTHÈSES TESTÉES
Le test de Mann-Whitney permet de tester l' hypothèse suivante:
contre
1 1{, : .l, (X) ;< .l2(X). 1
2. ABSENCE D'EX .tEQUO PARMI LES OBSERVATIONS
a) Statistique du test
Pour obtenir la statistiq ue u.,,,, du test de Mann-Whitney, en général, nous devons procéder à
des calculs su ccessifs :
1. Nous classons par ordre croissant l'ensemble des observations des deux échantillons
(.- \'1 .1, .. . , .- r1J1 1 ) et (x2.1, ... , X2,,, 1 ) de taille respective JJ1 et n2.
2. Nous affectons le rang correspondant.
3. Nous effectuons les sommes des rangs pour c hacun des deux échantillons, notées R,, 1 et R,,,.
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Mots clés --------------------------------~
Test de W ilcoxon-M an n-Whi tney en absence d'ex .;equo, test de W ilcoxon-M ann-Whit ney en présence
d'ex .:equ o, méth ode des rangs moyens, test non paramétri qu e.
Le test de l\
en faitéquiva.lents. En fonction de l'outil informatique utilisé, la dénomination du test pourraêtre
l' une des suivantes: Test de Mann-Whitney, Test de Wilcoxon de la somme des rangs o u encore
Test de Wilcoxon-Mann-Whitney.
L'approche de Mann et Whitney paraît souvent plus facile à mettre en pratique. Si nous devons
utiliser une table, il nous fa udra déterminer quelle a été l'approche utilisée par le logiciel statistique et nous servir de l' une des tables appropriées.
Nous observons, de manière indépendante, une variable aléatoire X de loi continue sur deux
populations ou sur une population divisée en deu x sous-populations. Nous obtenons ainsi deux
séries d'observations notées (.. r1.1, ... , X1. n, ) pour la première et (.. r2.1, ... , x2,,,) pour la seconde.
Nous notons .l;(X) la loi de la variable aléatoire X sur la ;ènr (sous-)population.
Sans faire d' hypothèses spécifiques, le test de Ma.nn-Whitney-Wilcoxon ne permet pas de tester
l'égalité des moyennes ni celle des médianes entre les deux (sous-)populations même dans le cas
où les variances ou les mads de la variable X sont égales sur les deux (sous-)populations. Pour
s'en convaincre, il suffit de s'intéresser à l'exemple suivant:
• premier échantillon I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29:
• secondécnantillon 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,30,31, 32,33, 34,35,36, 37,38.
1. HYPOTHÈSES TESTÉES
Le test de Mann-Whitney permet de tester l' hypothèse suivante:
contre
1 1{, : .l, (X) ;< .l2(X). 1
2. ABSENCE D'EX .tEQUO PARMI LES OBSERVATIONS
a) Statistique du test
Pour obtenir la statistiq ue u.,,,, du test de Mann-Whitney, en général, nous devons procéder à
des calculs su ccessifs :
1. Nous classons par ordre croissant l'ensemble des observations des deux échantillons
(.- \'1 .1, .. . , .- r1J1 1 ) et (x2.1, ... , X2,,, 1 ) de taille respective JJ1 et n2.
2. Nous affectons le rang correspondant.
3. Nous effectuons les sommes des rangs pour c hacun des deux échantillons, notées R,, 1 et R,,,.
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