Fiche 56 • Tests de comparaison de deux espérances
2. COMPARAISON DE DEUX ESPÉRANCES DE LOIS NORMALES DE VARIANCES
INCONNUES: LE TEST T DE STUDENT
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale d"espérance µ 1 et d"écart-type 0" 1. et Y une
variable aléatoire qui suit la loi normale d "espérance µ2 et d"écart-cype a) Hypothèses testées
Ce sont les mêmes hypothèses que dans la première section.
b) Conditions d'application du test
Il fa ut que I' échanci llon x 1 , ••• , x,,, soi c des réalisations indépendances de la variable aléatoire
X qui suit une loi normale et que le second échantillon y,, ... ,y,,, soit aussi des réalisations
indépendances de la variable aléatoire Y qui suit une loi normale. De plus, les effectifs 11 1 et 112
peuvent ne pas être égaux. Enfin, il fa ut que «comment vérifier cette hypothèse?». Pour tester cette hypothèse, nous utiliserons le test de
Fisher-Snedecor qui est présenté dans la Fiche 60.
Remarque
Pour vérifier la condition de n ormali té., reportez-vous Fi che 71 .
c) Statistique du test
Ji111 -JL,. , -
La variable aléatoire T,,,.,,,_2 =
- ou (j J.!._ + .!._
JJ1
"2
n 1 S~ 1 +n-iS;~
--'--~suie la loi de Scudenc à
"' +JJ2- 2
(11 1 + 11 2 - 2) degrés de liberté, notée 1(11 1 + 11 2 - 2 ), s;, et s;, sont définies Fiche 44.
d) Règle de décision et conclusion du test
La valeur critique du test, notée Ca, est lue dans une table de la loi de Scudenc. Si la valeur
absolue de la valeur de la statistique calculée sur léchantillon, notée T,,, .,,,-2(obs), est s upérieure
ou égale à Ca, alors le test est significatif. Nous rejetons 'Ho et nous décidons que 1f1. est vraie
avec un risque de première espèce a. Si la valeur absolue de la valeur de la statistiq ue calculée sur
l'échantillon, notée T,, 1 .,,,-2(obs),est strictement inférieure à Ca, alors le test n'est pas significatif.
Nous conservons 'Hi> avec un risque de deuxième espèce /J.
3. COMPARAISON DE DEUX ESPÉRANCES DE LOIS NORMALES DE VARIANCES
INCONNUES: LE TEST DE WELCH
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance µ 1 et d'écart-type variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance µ 2 et d'écart-cype a) Hypothèses testées
Ce sont les mêmes hypothèses que dans la première section.
b) Conditions d'application du test
Il fa ut que l'échantillon x 1 , ••• , x,., soie des réalisations indépendances de la variable aléatoire
X qui suit une loi normale et que le second échantillon y,, ... ,y,,, soit aussi des réalisations
indépendances de la variable aléatoire Y qui suit une loi normale. De plus, les effectifs 11 1 et 112
peuvent ne pas être égaux. Enfin, il fa ut que~ * vérifier cette hypothèse?». Pour tester cette hypothèse, nous utiliserons le test de Fisher-Snedecor
qui est présenté dans la Fiche 60.
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