Fiche 56 • Tests de comparaison de deux espérances
c) Statistique du test
La variable aléatoire r. = -;==='µt="'= ' = - =Ji= "'=',,.,,,= suit la loi de Student à vdegrés de liberté r(v), où v
s~ 1
s;.
- - + - - ·est l'entier le plus proche de
1
(
1
-
1
5 ---~:_ ;"_-s_-,_;' . _)
2
/ (-( _s_1 _ .. _)_ 3 + ( s:, )3),µ. , etµ,,, sont définies
11, - 1 112 - 1
11, - 1
112 - 1
•
dans la section 1 de cette fic he, s;, et S~, sont défi nies Fiche 44.
d) Règle de décision et conclusion du test
La valeur critiq ue du test, notée Ca, est lue dans une table de la loi de Studenc. Si la valeur absolue
de la valeur de la statistique calculée sur l'échantillon, notée Tv(obs), est supérieure o u égale à
Ca, alors le test est significatif. Nous rejetons ' Ht> ett nous décidons que 1f 1 est vraie avec un risque
de première espèce a. Si la valeur absolue de la valeur de la statistiq ue calculée sur l'échantillon,
notée Tv(obs), est strictement inférieure à Ca, alors le test n'est pas significatif. Nous conservons
' Ht> avec un risque de deuxièmeespècefl.
Remarque
Le test de Student est assez robuste mais si nous n oL.tS éloignons trop de la condition de n ormali té qui
est nécessaire pour procéder à ce test il est préférable d'utiliser un test non paramétrique., comme par
exemple le test de Mann-Whitney-Wilcoxon. voir Fiche 57, qui a aussi certaines conditions d'application
à savoir l'échantillon X 1 , •• •• Xn est aléatoire et les variables X; sont indépendantes. De plus, les deux distributions des deux variables doivent avoir la même forme. Cette dernière condition est très importante.
En effet dans le cas où elle ne serait pas respectée, le test de Mann-W hi tney-Wilcoxon peut aboutir
à des conclusions inexactes. Il est donc conseillé de faire une analyse graphique des deux distributions
avant d'appliquer ce test.
4. COMPARAISON DE DEUX ESPÉRANCES DE LOIS QUELCONQUES DE VARIANCES
INCONNUES
Soit X une variable aléatoire d'espérance égale à µ 1 et d'écart-type égal à u 1 et Y une variable
aléatoire d'espérance égale à µ 1 et d 'écart·type égal à
Ce sont les mêmes hypothèses que dans la première section.
b) Conditions d'application du test
Les effectifs 11 1 et 112 sont tous les deux supérieurs à 30.
c) Statistique du test
La variable aléatoi re (,., ,,, = .,...;, µ ... ,, ._ - .. JI .. , .,"'""'- s uit approximativement la loi normale N(O ; 1),
_s _._ -,_ + _s _,_r~_
111 - 1 112- I
Ji,., et Ji,., sont définies dans la section 1 de cette fiche, S~, et s;, sont définies Fiche 44 .
d) Règle de décision et conclusion du test
La valeur cri cique du test, notée Ca, est lue dans une table de la loi normale centrée· réduite. Si
la valeur absolue de la valeur de la statistique calculée sur l'échantillon, notée (,.,_,,, (obs), est
supérieure mu égale à Ca, alors le test est significattif. Nous rejetons ' Ht> et nous décidons que 1f 1
152
c) Statistique du test
La variable aléatoire r. = -;==='µt="'= ' = - =Ji= "'=',,.,,,= suit la loi de Student à vdegrés de liberté r(v), où v
s~ 1
s;.
- - + - - ·est l'entier le plus proche de
1
(
1
-
1
5 ---~:_ ;"_-s_-,_;' . _)
2
/ (-( _s_1 _ .. _)_ 3 + ( s:, )3),µ. , etµ,,, sont définies
11, - 1 112 - 1
11, - 1
112 - 1
•
dans la section 1 de cette fic he, s;, et S~, sont défi nies Fiche 44.
d) Règle de décision et conclusion du test
La valeur critiq ue du test, notée Ca, est lue dans une table de la loi de Studenc. Si la valeur absolue
de la valeur de la statistique calculée sur l'échantillon, notée Tv(obs), est supérieure o u égale à
Ca, alors le test est significatif. Nous rejetons ' Ht> ett nous décidons que 1f 1 est vraie avec un risque
de première espèce a. Si la valeur absolue de la valeur de la statistiq ue calculée sur l'échantillon,
notée Tv(obs), est strictement inférieure à Ca, alors le test n'est pas significatif. Nous conservons
' Ht> avec un risque de deuxièmeespècefl.
Remarque
Le test de Student est assez robuste mais si nous n oL.tS éloignons trop de la condition de n ormali té qui
est nécessaire pour procéder à ce test il est préférable d'utiliser un test non paramétrique., comme par
exemple le test de Mann-Whitney-Wilcoxon. voir Fiche 57, qui a aussi certaines conditions d'application
à savoir l'échantillon X 1 , •• •• Xn est aléatoire et les variables X; sont indépendantes. De plus, les deux distributions des deux variables doivent avoir la même forme. Cette dernière condition est très importante.
En effet dans le cas où elle ne serait pas respectée, le test de Mann-W hi tney-Wilcoxon peut aboutir
à des conclusions inexactes. Il est donc conseillé de faire une analyse graphique des deux distributions
avant d'appliquer ce test.
4. COMPARAISON DE DEUX ESPÉRANCES DE LOIS QUELCONQUES DE VARIANCES
INCONNUES
Soit X une variable aléatoire d'espérance égale à µ 1 et d'écart-type égal à u 1 et Y une variable
aléatoire d'espérance égale à µ 1 et d 'écart·type égal à
Ce sont les mêmes hypothèses que dans la première section.
b) Conditions d'application du test
Les effectifs 11 1 et 112 sont tous les deux supérieurs à 30.
c) Statistique du test
La variable aléatoi re (,., ,,, = .,...;, µ ... ,, ._ - .. JI .. , .,"'""'- s uit approximativement la loi normale N(O ; 1),
_s _._ -,_ + _s _,_r~_
111 - 1 112- I
Ji,., et Ji,., sont définies dans la section 1 de cette fiche, S~, et s;, sont définies Fiche 44 .
d) Règle de décision et conclusion du test
La valeur cri cique du test, notée Ca, est lue dans une table de la loi normale centrée· réduite. Si
la valeur absolue de la valeur de la statistique calculée sur l'échantillon, notée (,.,_,,, (obs), est
supérieure mu égale à Ca, alors le test est significattif. Nous rejetons ' Ht> et nous décidons que 1f 1
152