56 Tests de comparaison
de deux espérances
Mots clés
Comparaison de deux espérances de lois normales de variances connues, comparaison de deux espérances
de lois normales de variances inconnues égales ou inégales, comparaison de deux espérances de lois
quelconques de variances inconnues, test t de Student test de Welch, test paramétrique.
Rappelons queµ,, est définie Fiche 4 3 ec que s; est définie Fiche 44.
1. COMPARAISON DE DEUX ESPÉRANCES DE LOIS NORMALES DE VARIANCES
CONNUES
Soie X une variable aléatoire qui suie la loi normale d'espérance µ 1 ec d'écart-type
Nous souhaitons c hoisir encre les deux hypothèses suivantes:
11-li> :µ1 =µ2 1
contre
b) Conditions d'application du test
JI fa ut que l'échancillon x i. ... , x,.. soie des réali sacions indépendances de la variable aléatoire
X qui suie une loi normale ec que le second écltancillon !/I>·· .,y,,, soie aussi des réalisations
indépendances de la variable aléatoire Y qui suit une loi normale. De plus, les effectifs 111 et 112
peuvent ne pa~ être égaux.
Remarque
Pour vérifier la condition de normali té., reportez-vous Fi che 71 .
c) Statistique du test
La variable aléatoire Z., .,,,
-
1 "~
etµ,,.= - L:y;.
.
ll'2 i=I
Jin, -JL,.
cr. ~
-1. + -1.
JJ1
112
d) Règle de décision et conclusion du test
suie la loi normale N(O; 1 ), ec µ,,,
1 ,,,
- L:x1
Ill i=I
La valeur cri cique du cesc, notée Ca , est lue dans une table de la loi normale centrée-réduite. Si
la valeur absolue de la valeur de la scaciscique calculée sur l'échancillon, notée z,.._,., (obs), est
supérieure mu égale à Ca, alors le cesc est significattif. Nous rejetons 1-li> ec nous décidons que 1f 1
est vraie avec un risque de première espèce Il'. Si la valeur absolue de la valeur de la scaciscique
calculée sur l 'échancillon, notée Z, 11 _ ,,,(obs), est scriccemenc inférieure à Ca, alors le test n'est pas
significatif. Nous conservons 1-li> avec un risque de deuxième espèce /J.
150
de deux espérances
Mots clés
Comparaison de deux espérances de lois normales de variances connues, comparaison de deux espérances
de lois normales de variances inconnues égales ou inégales, comparaison de deux espérances de lois
quelconques de variances inconnues, test t de Student test de Welch, test paramétrique.
Rappelons queµ,, est définie Fiche 4 3 ec que s; est définie Fiche 44.
1. COMPARAISON DE DEUX ESPÉRANCES DE LOIS NORMALES DE VARIANCES
CONNUES
Soie X une variable aléatoire qui suie la loi normale d'espérance µ 1 ec d'écart-type
Nous souhaitons c hoisir encre les deux hypothèses suivantes:
11-li> :µ1 =µ2 1
contre
b) Conditions d'application du test
JI fa ut que l'échancillon x i. ... , x,.. soie des réali sacions indépendances de la variable aléatoire
X qui suie une loi normale ec que le second écltancillon !/I>·· .,y,,, soie aussi des réalisations
indépendances de la variable aléatoire Y qui suit une loi normale. De plus, les effectifs 111 et 112
peuvent ne pa~ être égaux.
Remarque
Pour vérifier la condition de normali té., reportez-vous Fi che 71 .
c) Statistique du test
La variable aléatoire Z., .,,,
-
1 "~
etµ,,.= - L:y;.
.
ll'2 i=I
Jin, -JL,.
cr. ~
-1. + -1.
JJ1
112
d) Règle de décision et conclusion du test
suie la loi normale N(O; 1 ), ec µ,,,
1 ,,,
- L:x1
Ill i=I
La valeur cri cique du cesc, notée Ca , est lue dans une table de la loi normale centrée-réduite. Si
la valeur absolue de la valeur de la scaciscique calculée sur l'échancillon, notée z,.._,., (obs), est
supérieure mu égale à Ca, alors le cesc est significattif. Nous rejetons 1-li> ec nous décidons que 1f 1
est vraie avec un risque de première espèce Il'. Si la valeur absolue de la valeur de la scaciscique
calculée sur l 'échancillon, notée Z, 11 _ ,,,(obs), est scriccemenc inférieure à Ca, alors le test n'est pas
significatif. Nous conservons 1-li> avec un risque de deuxième espèce /J.
150