Fiche 53 • Test des rangs signés de Wilcoxon
a) Statistique du test
Nous déterminons alors la somme w,; (obs) des rangs 1 des seules observations strictement positives. La statistique w,; du test des rangs signés de Wilcoxon est la variable aléatoire qui prend
pour valeur la somme w;(obs). Par conséquent, la statistique w; du test des rangs signés de
Wilcoxon de l'échantillon se définit par:
Remarque
w,; = L: R f.
1 .; j ,,,;; Il
X;> 0
La loi de la statistique w; ne dépend pas de la loi cont inue Fx des variables aléatoires X;.
Propri étés : Lorsque l' hypothèse nulle?-ft> est vraie, la variable aléatoire w; a les trois propriétés
suivantes.
1. w,; est symétrique autour de son espérance B (W,;) = 11(11 + 1 )/4.
2. Var (W,; ) = 11(11 + 1)(211 + 1 )/24.
3. w,; est tabulée pour de faibles valeurs de 11. Pour 11;;., 15, nous utiliserons l'approximation
normale en tenant compte de la correction de continuité :
[
2
11(11 + 1)
1
w- - - - +I
IP· Ho (w,; .; w) =
2
. 11(11+ 1~211+ 1)
où est la fonction de répartition de la loi normale centrée-réduite N(O ; 1) eu w est un
nombre entier compris entre 0 et 11(11 + 1 )/2.
Remarque
La p résen ce du « 1 »dans l'expression de est la correction de continuité.
b) Règle de décision et conclusion du test
• Premier cas : La taille /1 est inférieure à 15. Pour un seuil donné a, nous cherchons, dans les
tables de la loi de Wilcoxon, le plus grand nombre entier w& tel q ue 1P1-1 0 (W,; .; w" ) .; a/2.
Alors nous décidons :
{
si w,;(obs) i!)w&; 11(11 + 1 )/2 - w&( 1{ 1 est vraie,
si w,;(obs) E)w&; 11(11 + 1 )/2 - w&( 1-ft> est vraie.
• S econd cas: La taille 11est supérieure ou égale à 15. La statistique w,; suit approximativement
la loi normale N(11(11+ 1 )/4: v11(11 + 1)(211 + 1 )/24) etnous utilisons alors la statistique suivante
q ui tient compte de la correction de continuité :
+
11(11 + 1)
2W - - - - + I
z. = •
2
11(11 + 1 )(211 + 1)
6
143